Vecteurs et translation -Cours 2AC
VECTEURS ET TRANSLATION
Les vecteurs
1. Définition
Chaque deux points distincts \(A\) et \(B\) déterminent un vecteur non nul \(\overrightarrow{AB}\).
- Le point \(A\) s’appelle l’origine du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
- Le point \(B\) s’appelle l’extrémité du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2. Caractéristiques d’un vecteur
Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est déterminé par trois caractéristiques :
- La direction : la direction de la droite \((AB)\).
- Le sens : de \(A\) vers \(B\).
- La norme : la distance \(AB\).
3. Vecteur nul
Si \(A = B\), alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) s’écrit \(\overrightarrow{AA}\) ou \(\overrightarrow{BB}\).
\(\overrightarrow{AA}\) est appelé le vecteur nul.
On le note : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\).
4. Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont :
- La même direction (leurs directions sont parallèles).
- Le même sens.
- La même longueur (la même norme).
Exemple
Les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) ont :
- La même direction : \((AB) \parallel (CD)\)
- Le même sens : de \(A\) vers \(B\) et de \(C\) vers \(D\).
- La même norme : \(AB = CD\)
On écrit : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
Propriété 1
Soient \(A, B, C\) et \(D\) quatre points distincts et non alignés.
Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) alors \(ABCD\) est un parallélogramme.
5. Somme de deux vecteurs
Définition
La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) tel que \(ABDC\) est un parallélogramme.
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)
(avec ABDC parallélogramme)
6. L’opposé d’un vecteur
Définition
L’opposé d’un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur \(\overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\)
7. Milieu d’un segment
Propriété 1
\(A\) et \(B\) sont deux points distincts :
- Si \(M\) est le milieu de \([AB]\) alors \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\)
- Si \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\) alors \(M\) est le milieu de \([AB]\)
8. Relation de Chasles
Propriété 1
\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points du plan.
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Cette relation est appelée relation de Chasles.
Translation
Définition
Soit \(M\) un point et \(\overrightarrow{AB}\) un vecteur.
Le point \(M’\) est l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
signifie que :
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MM’}\)
Remarque
On dit aussi que M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
Exemple
Dans les cas suivants : construire \(M’\) l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
1er Cas
Si M est un point de (AB)
(alignés dans le même sens)
2ème Cas
M n’est pas un point de (AB)
M’ est tel que ABM’M
soit un parallélogramme
Vecteurs et translation -Cours 2AC