Point, droite, demi-droite et segment

📌 Propriété 1 : Par deux points distincts \(M\) et \(N\), il passe une unique droite, notée \((MN)\) ou \((NM)\).

📌 Propriété 2 : Par un point, il passe une infinité de droites.

📌 Exemples :

• Par deux points A et B, on peut tracer une unique droite (AB). • Par un point A, on peut tracer une infinité de droites (dans toutes les directions).

📌 Exemple :

Les demi-droites \([AB)\) et \([AC)\) sont opposées car : • Elles ont la même origine : \(A\) • Elles ont le même support : la droite \((D) = (AB) = (AC)\) • Leur seul point commun est \(A\)

Remarque : Une demi-droite se note avec un crochet du côté de l’origine et une parenthèse de l’autre côté. \([AB)\) signifie la demi-droite d’origine A passant par B.

Appartenance et alignement

📌 Exemples :

• Si \(A \in (D)\), on dit que le point A appartient à la droite (D). • Si \(B \notin (D)\), on dit que le point B n’appartient pas à la droite (D).

Pour un segment : \(M \in [AB]\) signifie que M est situé entre A et B (inclus).

📌 Exemple :

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés car ils appartiennent à la même droite. Les points \(A\), \(B\) et \(D\) ne sont pas alignés car ils ne sont pas sur la même droite.

Remarque : Si trois points sont alignés, on peut dire qu’ils sont « sur la même ligne ».

📌 Définition 1 : Deux segments qui ont la même longueur sont égaux (on dit aussi isométriques). Exemple : Si \(AB = CD\), alors les segments \([AB]\) et \([CD]\) sont égaux.

📌 Définition 2 : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est équidistant de ses extrémités. \(M\) est le milieu de \([AB]\) signifie que \(M \in [AB]\) et \(MA = MB\).

📌 Exemple :

Si \(M\) est le milieu de \([AB]\), alors : • \(M \in [AB]\) (M est sur le segment) • \(MA = MB\) (les distances de M à A et à B sont égales) • \(AM = MB = \dfrac{AB}{2}\)

Positions de deux droites

📌 Exemple :

Les droites \((D)\) et \((L)\) sont sécantes. Elles se coupent au point \(C\). On note : \((D) \cap (L) = \{C\}\) (l’intersection des deux droites est le point C).

📌 Propriété : Par un point donné, il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.

📌 Exemple :

Les droites \((D)\) et \((L)\) sont perpendiculaires. On note : \((D) \perp (L)\) ou \((L) \perp (D)\).

Projection orthogonale : Le point \(H\), pied de la perpendiculaire, est appelé la projection orthogonale du point \(C\) sur la droite \((L)\). La longueur \(CH\) est la distance du point \(C\) à la droite \((L)\). C’est la plus petite distance de C à n’importe quel point de (L).

📌 Propriété : Par un point donné, il passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

📌 Exemple :

Les droites \((D)\) et \((L)\) sont parallèles. On note : \((D) // (L)\) ou \((L) // (D)\).

Propriétés de trois droites

📌 Propriété 1 : Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si \((K) // (L)\) et \((D) \perp (L)\), alors \((D) \perp (K)\).

📌 Propriété 2 : Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Si \((K) // (L)\) et \((D) // (L)\), alors \((K) // (D)\).

📌 Propriété 3 : Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.

Si \((K) \perp (D)\) et \((L) \perp (D)\), alors \((K) // (L)\).

📌 Propriété 4 : Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si \((K) // (L)\) et \((D) \perp (K)\), alors \((D) \perp (L)\).

📌 Tableau récapitulatif :

Condition	Conclusion
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (L)\)	\((D) \perp (K)\)
\((K) // (L)\) et \((D) // (L)\)	\((K) // (D)\)
\((K) \perp (D)\) et \((L) \perp (D)\)	\((K) // (L)\)
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (K)\)	\((D) \perp (L)\)