Une fraction : définition

Définition : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres décimaux avec \(b \neq 0\). \(\dfrac{a}{b}\) est le quotient de \(a\) par \(b\). On dit que \(\dfrac{a}{b}\) est une écriture fractionnaire du quotient \(a \div b\). \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.

Cas particulier : Si \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels avec \(b \neq 0\), on dit que \(\dfrac{a}{b}\) est une fraction.

(\(\frac{3}{5}\))

La fraction \(\frac{a}{b}\) représente a parts sur b parts égales

📌 Exemples :

• \(\frac{11}{2}\) ; \(\frac{3}{7}\) ; \(\frac{9}{2}\) sont des fractions (numérateur et dénominateur entiers). • \(\frac{2,5}{3}\) et \(\frac{1,7}{5,9}\) sont des écritures fractionnaires (numérateur ou dénominateur décimaux).

Remarques : • Tout entier est une fraction : \(3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \cdots\) • Tout décimal est une fraction : \(4,5 = \frac{45}{10}\) et \(0,241 = \frac{241}{1000}\)

Égalité de fractions

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)

📌 Exemples :

\(\frac{10}{35} = \frac{5 \times 2}{5 \times 7} = \frac{2}{7}\) \(\frac{15}{9} = \frac{3 \times 5}{3 \times 3} = \frac{5}{3}\) \(\frac{24}{16} = \frac{24 \div 8}{16 \div 8} = \frac{3}{2}\) \(\frac{128}{132} = \frac{128 \div 4}{132 \div 4} = \frac{32}{33}\)

Exemples de fractions irréductibles : \(\frac{2}{7}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{32}{33}\). Ces fractions ne peuvent pas être simplifiées davantage.

📌 Exemples :

\(\frac{3}{0,75} = \frac{3 \times 100}{0,75 \times 100} = \frac{300}{75}\) \(\frac{0,61}{2,5} = \frac{0,61 \times 10}{2,5 \times 10} = \frac{6,1}{25}\)

Rappel : Multiplier par 10, 100, 1000 déplace la virgule vers la droite. \(28,76 \times 10 = 287,6\) ; \(5,12 \times 100 = 512\) \(7,5 \times 100 = 750\) ; \(7,5 \times 1000 = 7500\)

Comparaison de deux fractions

Exemples : \(\frac{14}{8} < \frac{14}{3}\) (car 8 > 3, donc la fraction avec le plus petit dénominateur est plus grande) \(\frac{1}{6} > \frac{1}{15}\) (car 6 < 15)

Exemples : \(\frac{19}{7} > \frac{17}{7}\) (car 19 > 17) \(\frac{21}{5} < \frac{94}{5}\) (car 21 < 94)

Exemples : \(\frac{51}{53} < 1\) (car 51 < 53) \(\frac{2019}{2018} > 1\) (car 2019 > 2018)

Addition et soustraction de fractions

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)   et   \(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}\)

Exemples : \(\frac{11}{5} + \frac{7}{5} = \frac{11+7}{5} = \frac{18}{5}\) \(\frac{27}{9} – \frac{19}{9} = \frac{27-19}{9} = \frac{8}{9}\)

Exemples : \(\frac{5}{7} + \frac{11}{21} = \frac{15}{21} + \frac{11}{21} = \frac{26}{21}\) \(\frac{9}{12} + \frac{7}{8} = \frac{18}{24} + \frac{21}{24} = \frac{39}{24}\) \(\frac{13}{3} – \frac{7}{9} = \frac{39}{9} – \frac{7}{9} = \frac{32}{9}\) \(\frac{12}{11} – \frac{3}{6} = \frac{72}{66} – \frac{33}{66} = \frac{39}{66}\)

Multiplication et division de fractions

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

Exemples : \(\frac{11}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{11 \times 7}{5 \times 2} = \frac{77}{10}\) \(\frac{4}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{4 \times 8}{3 \times 3} = \frac{32}{9}\) \(\frac{3}{10} \times 7 = \frac{3}{10} \times \frac{7}{1} = \frac{21}{10}\)

Exemples : L’inverse de \(\frac{5}{2}\) est \(\frac{2}{5}\). L’inverse de \(7\) est \(\frac{1}{7}\).

\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}\)

Exemples : \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) \(\frac{5}{2} \div \frac{6}{7} = \frac{5}{2} \times \frac{7}{6} = \frac{35}{12}\)

Tableau récapitulatif des opérations

Opération	Formule	Exemple
Addition (même dénominateur)	\(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\)	\(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\)
Soustraction (même dénominateur)	\(\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\)	\(\frac{5}{7} – \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\)
Multiplication	\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)	\(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)
Division	\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\)	\(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)
Simplification	\(\frac{a \div k}{b \div k} = \frac{a}{b}\)	\(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)