La projection dans le plan – évaluations corrigés

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(5pts)$

$ABCD$ un parallélogramme de centre $O$

$1)$ On considère $P_{1}$ la projection sur $(DC)$ parallèlement à $(AD)$

$a)$ Déterminer $P_{1}(A) ; P_{1}(B) ; P_{1}(C)$ et $P_{1}(D)$

$b)$Construire $P_{1}(O)$

$2)$ On considère $P_{2}$ la projection sur $(B C)$ parallèlement à $(BD)$

Déterminer : $P_{2}(O) ; P_{2}(B) ; P_{2}(C)$ et $P_{2}(D)$

Exercice 2：$(4pts)$

Soient $ABC$ est un triangle et $M$ un point définie par : $\overrightarrow{A M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$

$1)$ Construire le point $M^{\prime}$ le projeté de $M$ sur la droite $(A C)$ parallèlement à $(B C)$

$2)$ Montrer que $\overrightarrow{A M^{\prime}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ et en déduire que $\overrightarrow{M M^{\prime}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$

Exercice 3：$(4pts)$

Soient $ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[A C]$. $E$ un point de $(A C)$ tel que : $\overrightarrow{I E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{I C}$ et $P_{((A B) ;(I B))}(E)=F$

$1)$ Faire une figure

$2)$ Montrer que : $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$

Exercice 4：$(7pts)$

Soient $ABC $ est un triangle et $I$ le milieu de $[A C]$

$E$ un point tel que : $\overrightarrow{B C}=4 \overrightarrow{B E}$

La droite qui passe par $E$ et parallèle a $(I B)$ coupe $(A C)$ en $J$

$1)$ Faire une figure

$2)$ Montrer que $\overrightarrow{I C}=4 \overrightarrow{I J}$ et en déduire que : $\overrightarrow{A J}=5 \overrightarrow{I J}$

$3)$ si $(I B) \cap(A E)=\{K\}$ montrer que : $\overrightarrow{A E}=5 \overrightarrow{K E}$