Exercice 1 : Barycentre de deux points (4 points)

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. Soit \(G\) le point tel que :

\(2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = \vec{0}\).

1) Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\). (1 pt)

2) Pour tout point \(M\) du plan, démontrer que : \(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 5\overrightarrow{MG}\). (1,5 pts)

3) En déduire l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \(\|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}\| = 15\). (1,5 pts)

Exercice 2 : Coordonnées du barycentre (4 points)

On considère dans le plan muni d’un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\) les points :

\(A(1; -2)\), \(B(3; 4)\) et \(C(-1; 5)\).

1) Déterminer les coordonnées du point \(G\) barycentre du système \(\{(A; 2); (B; -3)\}\). (2 pts)

2) Déterminer les coordonnées du point \(H\) barycentre du système \(\{(A; 1); (B; 2); (C; -2)\}\). (2 pts)

Exercice 3 : Associativité du barycentre (4 points)

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(K\) le point défini par \(\overrightarrow{BK} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\).

Soit \(G\) le barycentre du système \(\{(A; 3); (B; 7); (C; -4)\}\).

1) Vérifier que \(K = \text{bar}\{(B; 7); (C; -4)\}\). (1,5 pts)

2) Montrer que \(G\) est le milieu du segment \([AK]\). (2,5 pts)

Exercice 4 : Ensemble de points (4 points)

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan.

1) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que :

\(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 6\). (2 pts)

2) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que :

\(\|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\|\). (2 pts)

Exercice 5 : Problème de synthèse (4 points)

Soit \(ABC\) un triangle. \(G\) est le barycentre des points \((A; -2)\), \((B; 3)\) et \((C; 3)\).

\(K\) et \(H\) sont deux points tels que \(\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH} = 3\overrightarrow{AC}\).

\(I\) est le milieu du segment \([BC]\).

1) Vérifier que \(K = \text{bar}\{(A; -2); (B; 3)\}\) et \(H = \text{bar}\{(A; -2); (C; 3)\}\). (1 pt)

2) a) Montrer que \(G = \text{bar}\{(K; 1); (C; 3)\}\). (1 pt)

b) Montrer que \(G = \text{bar}\{(A; -1); (I; 3)\}\). (1 pt)

3) En déduire que les droites \((CK)\), \((BH)\) et \((AI)\) sont concourantes en un point qu’on déterminera. (1 pt)