Le barycentre dans le plan – exercices corrigés

Le barycentre dans le plan – exercices corrigés

Résumé de cours
Évaluation

📋Exercice : Questions de cours (Barycentre)

1

Donner la définition du barycentre de deux points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\). À quelle condition existe-t-il ?

 

2

Qu’appelle-t-on isobarycentre de deux points ? Donner un exemple.

 

3

Énoncer la propriété de conservation du barycentre. Que permet-elle de faire ?

 

4

Énoncer la propriété caractéristique du barycentre de deux points. Quelle est la formule pour tout point \( M \) du plan ?

 

5

Donner les coordonnées du barycentre \( G \) de deux points \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) avec les coefficients \( a \) et \( b \).

 

6

Donner la définition du barycentre de trois points pondérés \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\). À quelle condition existe-t-il ?

 

7

Qu’appelle-t-on l’isobarycentre (ou centre de gravité) de trois points ?

 

8

Énoncer la propriété caractéristique du barycentre de trois points. Donner la formule pour tout point \( M \) du plan.

 

9

Énoncer la propriété d’associativité du barycentre. À quoi sert-elle ?

 

10

Donner les coordonnées du barycentre \( G \) de trois points \( A(x_A; y_A) \), \( B(x_B; y_B) \) et \( C(x_C; y_C) \) avec les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \).

 

11

Comment généralise-t-on le barycentre à un système de quatre points pondérés ? Donner les formules des coordonnées.

 

1) Définition du barycentre de deux points pondérés

Soient \((A; a)\) et \((B; b)\) deux points pondérés tels que \(a + b \neq 0\).

Il existe un unique point \(G\) vérifiant :

\( a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \)

Le point \(G\) s’appelle le barycentre des points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\) ou barycentre du système pondéré \(\{(A; a), (B; b)\}\).

Condition d’existence : \(a + b \neq 0\).

2) Isobarycentre de deux points

Si \(a = b\), le point \(G\) est appelé l’isobarycentre des points \(A\) et \(B\).

Exemple : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors \(I\) est le barycentre de \((A; 1)\) et \((B; 1)\).

3) Propriété de conservation du barycentre

Si \(G\) est le barycentre des points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\), alors \(G\) est aussi le barycentre des points pondérés \((A; ka)\) et \((B; kb)\) pour tout réel \(k \neq 0\).

Exemple : \(G = \text{bar}\{(A; 0,05), (B; 0,1)\} = \text{bar}\{(A; 1), (B; 2)\}\).

Utilité : Cette propriété permet de simplifier les coefficients en les multipliant par un réel non nul.

4) Propriété caractéristique du barycentre de deux points

Soient \((A; a)\) et \((B; b)\) deux points pondérés tels que \(a + b \neq 0\).

\(G\) est le barycentre de \((A; a)\) et \((B; b)\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan :

\( a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG} \)

5) Coordonnées du barycentre de deux points

Soient \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) deux points du plan muni d’un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\) et \((B; b)\), alors :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B}{a+b} \) et \( y_G = \dfrac{a y_A + b y_B}{a+b} \)

6) Définition du barycentre de trois points pondérés

Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) trois points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\).

Il existe un point \(G\) unique vérifiant :

\( a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \)

Le point \(G\) est appelé barycentre des points pondérés \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\).

Condition d’existence : \(a + b + c \neq 0\).

7) Isobarycentre de trois points

Si \(a = b = c\), le point \(G\) est appelé l’isobarycentre (ou centre de gravité) des points \(A\), \(B\) et \(C\).

\( G = \text{bar}\{(A; 1), (B; 1), (C; 1)\} \)

8) Propriété caractéristique du barycentre de trois points

Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) trois points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\).

\(G\) est le barycentre de ces trois points si et seulement si pour tout point \(M\) du plan :

\( a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG} \)

9) Propriété d’associativité du barycentre

Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) des points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\) et \(a + b \neq 0\).

Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), \((C; c)\) et \(H\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), alors \(G\) est le barycentre de \((H; a+b)\) et \((C; c)\).

Utilité : Cette propriété permet de construire progressivement un barycentre en regroupant des points.

10) Coordonnées du barycentre de trois points

Soient \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) et \(C(x_C; y_C)\) trois points du plan muni d’un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\), alors :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c} \) et \( y_G = \dfrac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c} \)

11) Généralisation à quatre points pondérés

La définition et les propriétés du barycentre se généralisent à quatre points pondérés.

Soient \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\), \(C(x_C; y_C)\) et \(D(x_D; y_D)\). Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), \((C; c)\) et \((D; d)\), alors :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B + c x_C + d x_D}{a+b+c+d} \) et \( y_G = \dfrac{a y_A + b y_B + c y_C + d y_D}{a+b+c+d} \)

Remarque : On peut utiliser l’associativité pour construire progressivement le point \(G\) en regroupant les points deux par deux.

📝Exercice 1 : Détermination des coefficients du barycentre

Soient \( A \) et \( B \) deux points. Déterminer \( a \) et \( b \) tels que \( G \) soit le barycentre de \( (A; a) \) et \( (B; b) \) défini par la condition indiquée :

Questions

1

\( 2\overrightarrow{GA} – 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)

 

2

\( 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)

 

1) \( 2\overrightarrow{GA} – 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)

On a \( \overrightarrow{BG} = -\overrightarrow{GB} \). Donc :

\( 2\overrightarrow{GA} – 3(-\overrightarrow{GB}) = \overrightarrow{0} \iff 2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \)

Par définition du barycentre, \( G = \text{Bar}\{(A; \alpha), (B; \beta)\} \) signifie :

\( \alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \)

Par identification, on obtient :

\( \alpha = 2 \) et \( \beta = 3 \)
\( \boxed{a = 2} \) et \( \boxed{b = 3} \)

Vérification : \( a + b = 5 \neq 0 \), donc \( G \) existe bien.

Remarque : \( G = \text{Bar}\{(A; 2), (B; 3)\} \). Le point \( G \) est plus proche de \( A \) que de \( B \) (car  \( a=2 < b=3 \), donc \( G \) est plus proche de \( A \) ).

2) \( 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)

Il est plus simple d’exprimer \( G \) en fonction de \( A \) et \( B \).

On a  :

\( 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)
\( 2\overrightarrow{AG} +2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \iff 2\overrightarrow{AG} -2\overrightarrow{BG} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)
\( 2\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0}  \)

Par ailleurs, pour \( G = \text{Bar}\{(A; 2), (B; 1)\} \)

Donc :

\( \boxed{a = 2} \) et \( \boxed{b = 1} \)

📐Exercice 2 : Construction du barycentre de deux points

Construire \( G \) dans les cas suivants :

Questions

1

\( G = \text{Bar}\{(A; 4), (B; -5)\} \)

 

2

\( G = \text{Bar}\{(A; \sqrt{8}), (B; -\sqrt{2})\} \)

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📝Exercice 3 : Propriétés du barycentre

Soit \( G \) le barycentre de \( (A; 1) \) et \( (B; -2) \).

Questions

1

Montrer que \( A \) est le barycentre de \( (G; 1) \) et \( (B; -2) \).

 

2

Montrer que \( B \) est le milieu de \( [AG] \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 4 : Construction de barycentres et relation vectorielle

Soient \( A \) et \( B \) deux points du plan.

Questions

1

Construire \( G = \text{Bar}\{(A; -1), (B; 3)\} \).

 

2

Construire \( G’ = \text{Bar}\{(A; 3), (B; -2)\} \).

 

3

Déterminer \( \overrightarrow{GG’} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📝Exercice 5 : Coordonnées d’un barycentre

Dans le plan \( (P) \) rapporté à un repère \( R(O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient \( A(3; 2) \) et \( B(4; 1) \) et soit :

\[ G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; -5)\} \]

Déterminer les coordonnées de \( G \).

Question

1

Déterminer les coordonnées du point \( G \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 6 : Coordonnées d’un barycentre dans un repère non standard

Soit \( ABC \) un triangle et soit :

\[ I = \text{Bar}\{(B; 4), (C; -3)\} \]

Déterminer les coordonnées du point \( I \) dans le repère \( R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \).

Question

 

Déterminer les coordonnées du point \( I \) dans le repère \( R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 7 : Barycentre et intersection de deux droites

Soient \( E \) et \( F \) deux points du plan tels que :

\[ \overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF} \quad \text{et} \quad E \notin (AB) \]

et \( G \) est le barycentre des points \( (A; 2) \) et \( (B; -3) \).

Questions

1

Montrer que \( G \) est le barycentre des points \( (E; -1) \) et \( (F; 2) \).

 

2

En déduire que les droites \( (EF) \) et \( (AB) \) se coupent et déterminer le point d’intersection.

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 8 : Ensemble des points vérifiant une égalité vectorielle

Dans le plan \( (P) \) rapporté à un repère \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient \( A(0; 5) \) et \( B(3; 2) \).

Et soit \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; 2)\} \).

Questions

1

Déterminer les coordonnées de \( G \).

 

2

Déterminer et dessiner l’ensemble suivant :

\[ (C) = \{ M \in (P) \mid \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \| = 6 \} \]

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 9 : Construction du barycentre de trois points

Soit \( ABC \) un triangle.

Questions

1

Construire \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; -1), (C; 3)\} \).

 

2

Construire \( G = \text{Bar}\{(A; 4), (B; \frac{1}{2}), (C; -3)\} \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 10 : Détermination d’un barycentre à partir d’une relation vectorielle

Soit \( ABC \) un triangle et \( G \) un point tel que :

\[ 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} – \overrightarrow{GB} \]

Questions

 

Montrer que \( G \) est le barycentre de \(\{(A; 1), (B; 1), (C; 2)\}\) et construire le point \( G \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 11 : Construction d’un barycentre par associativité

En utilisant la propriété d’associativité, construire le barycentre \( G \) du système pondéré :

\[ \{(A; 2), (B; -3), (C; 5)\} \]

Question

 

Construire \( G \) en utilisant la propriété d’associativité du barycentre.

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 12 : Centre de gravité et associativité

Soit \( ABC \) un triangle et \( G \) le centre de gravité du triangle \( ABC \).

Soit \( I \) le milieu du segment \([BC]\).

Montrer que \( G \) est le centre de gravité de \( (A; 1) \) et \( (I; 2) \).

Question

 

Montrer que \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (I; 2)\} \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 13 : Réduction vectorielle et ensemble de points

Soit \( ABC \) un triangle. Pour tout point \( M \), on pose :

\[ \vec{V} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – 3\overrightarrow{MC} \]

Questions

1

Réduire l’écriture de \( \vec{V} \) et montrer que \( \vec{V} \) ne dépend pas du point \( M \).

 

2

Soit \( K = \text{Bar}\{(C; -3), (B; 1)\} \). Montrer que :

\( \vec{V} = 2\overrightarrow{KA} \).

 

3

Soit \( G = \text{Bar}\{(A; 2), (B; -1), (C; -3)\} \). Montrer que pour tout point \( M \) :

\( 2\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB} – 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM} \).

 

4

En déduire l’ensemble des points \( M \) tels que :

\[ \|2\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB} – 3\overrightarrow{MC}\| = \|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – 3\overrightarrow{MC}\| \]

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 14 : Ensembles de points (cercle et médiatrice)

Soit \( ABC \) un triangle tel que :

\[ AC = 6\text{cm} \quad ; \quad AB = 5\text{cm} \quad ; \quad BC = 4\text{cm} \]

Questions

a

Construire \( G \) le barycentre de \(\{(A; 1), (B; 2), (C; 1)\}\).

 

b

Déterminer et construire l’ensemble \( (E) \) des points \( M \) du plan tel que :

\[ \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \| = AC \]

 

c

Déterminer et construire l’ensemble \( (F) \) des points \( M \) du plan tel que :

\[ \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \| = \| 3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} \| \]

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 15 : Coordonnées de barycentres

Dans le plan \( (P) \) rapporté à un repère \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient :

\[ A(-1; 1) \quad ; \quad B(0; 2) \quad ; \quad C(1; -1) \quad ; \quad D(1; 0) \]

Et soit \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; 2)\} \).

Questions

1

Déterminer les coordonnées de \( K = \text{Bar}\{(A; 2), (B; 3)\} \).

 

2

Déterminer les coordonnées de \( L \), le centre de gravité du triangle \( ABC \).

 

3

Déterminer les coordonnées du barycentre du système :

\[ \{(A; 2), (B; 3), (C; 1), (D; -1)\} \]

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 16 : Barycentre et parallélisme

Soit \( ABCD \) un quadrilatère convexe.

Soit \( H \) le barycentre du système pondéré \(\{(A; 2), (B; 5), (C; -1)\}\).

Soit \( K \) le barycentre du système pondéré \(\{(B; 5), (C; -1), (D; 6)\}\).

Soit \( E = \text{Bar}\{(C; -1), (B; 5)\} \).

Questions

1

Montrer que \( \overrightarrow{BE} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC} \) et construire \( E \).

 

2

Montrer que \( H \) est le barycentre du système pondéré \(\{(A; 1), (E; 2)\}\) et construire \( H \).

 

3

Montrer que \( K \) est le barycentre du système pondéré \(\{(D; -3), (E; 2)\}\).

 

4a

Montrer que \( D \) est le barycentre du système pondéré \(\{(K; 1), (E; 2)\}\).

 

4b

En déduire que \( (AK) \parallel (DH) \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 17 : Barycentre et alignement de points

\( ABC \) un triangle.

\( I \), \( J \) et \( K \) points tels que :

\[ 2\overrightarrow{BI} = 3\overrightarrow{BC} \quad ; \quad 8\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CA} \quad ; \quad 5\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB} \]

Questions

1

Montrer que \( I \) est le barycentre des points pondérés \(\left(B; \frac{1}{2}\right)\) et \(\left(C; -\frac{3}{2}\right)\).

 

2a

Le plan \( (P) \) est rapporté au repère \( R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \). Déterminer les coordonnées du point \( J \).

 

2b

Déterminer une équation cartésienne de la droite \( (IK) \).

 

2c

Est-ce que les points \( I \), \( J \) et \( K \) sont alignés.

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📐Exercice 18 : Barycentre dans un carré – Concours de droites

\( ABCD \) un carré et \( I \) et \( J \) les milieux respectivement des segments \([BC]\) et \([CD]\).

\( M \) et \( N \) deux points tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} \]

Questions

1

Déterminer le barycentre des points pondérés \(\{(A; 3), (B; 1)\}\) et \(\{(A; 3), (D; 1)\}\).

 

2

Soit \( G \) le barycentre des points pondérés \((A; 3), (B; 1), (C; 1), (D; 1)\).

 

Montrer que les droites \((MJ)\), \((NI)\) et \((AC)\) sont concourantes en \( G \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 19 : Ensemble des points – Cercle d’Apollonius

\( A \) et \( B \) deux points tels que \( AB = 4 \text{ cm} \).

Soit \( (F) \) l’ensemble des points \( M \) du plan tel que :

\[ \frac{MA}{MB} = 3 \]

Questions

1

Montrer que : \( M \in (F) \iff \overrightarrow{MA}^2 – 9\overrightarrow{MB}^2 = 0 \).

 

2

Soit \( G \) le barycentre des points pondérés \( (A; 1), (B; 3) \) et \( K \) le barycentre des points pondérés \( (A; 1), (B; -3) \).

a) Montrer que : \( M \in (F) \iff \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0 \).

 

2b

b) En déduire l’ensemble \( (F) \) et le tracer.

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 20 : 

\( A \) et \( B \) deux points tels que \( AB = 4 \text{ cm} \) et \( I \) le milieu du segment \([AB]\).

Questions

1) Soit \( (E) \) l’ensemble des points \( M \) du plan tel que : \( \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4 \)

a

Soit \( H \) le barycentre des points pondérés \( (A; 1), (B; 3) \). Montrer que \( H \in (E) \).

 

b

Vérifier que : \( M \in (E) \iff \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \).

 

c

Déterminer la nature de l’ensemble \( (E) \).

 

2) Soit \( (F) \) l’ensemble des points \( M \) du plan tel que : \( MA^2 – MB^2 = 8 \)

a

Montrer que : \( \forall M \in (P) : MA^2 – MB^2 = 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} \).

 

b

En déduire que \( (F) = (E) \) et le tracer.

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

📍Exercice 21 : 

\( A \) et \( B \) deux points tels que \( AB = 3 \text{ cm} \) et \( I \) le milieu du segment \([AB]\).

Questions

1) Soit \( (C) \) l’ensemble des points \( M \) du plan tel que : \( MA^2 + MB^2 = 9 \)

a

Montrer que : \( M \in (C) \iff MI = \dfrac{3}{2} \).

 

b

Déterminer la nature et tracer l’ensemble \( (C) \).

 

2) Soit \( (C’) \) l’ensemble des points \( M \) du plan tel que : \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -\dfrac{5}{4} \)

a

Montrer que : \( M \in (C’) \iff MI = 1 \).

 

b

Déterminer la nature et tracer l’ensemble \( (C’) \).

 

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée .


Je m’abonne maintenant

Le barycentre dans le plan – exercices corrigés