Le barycentre dans le plan – exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Barycentre)
Donner la définition du barycentre de deux points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\). À quelle condition existe-t-il ?
Qu’appelle-t-on isobarycentre de deux points ? Donner un exemple.
Énoncer la propriété de conservation du barycentre. Que permet-elle de faire ?
Énoncer la propriété caractéristique du barycentre de deux points. Quelle est la formule pour tout point \( M \) du plan ?
Donner les coordonnées du barycentre \( G \) de deux points \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) avec les coefficients \( a \) et \( b \).
Donner la définition du barycentre de trois points pondérés \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\). À quelle condition existe-t-il ?
Qu’appelle-t-on l’isobarycentre (ou centre de gravité) de trois points ?
Énoncer la propriété caractéristique du barycentre de trois points. Donner la formule pour tout point \( M \) du plan.
Énoncer la propriété d’associativité du barycentre. À quoi sert-elle ?
Donner les coordonnées du barycentre \( G \) de trois points \( A(x_A; y_A) \), \( B(x_B; y_B) \) et \( C(x_C; y_C) \) avec les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \).
Comment généralise-t-on le barycentre à un système de quatre points pondérés ? Donner les formules des coordonnées.
Soient \((A; a)\) et \((B; b)\) deux points pondérés tels que \(a + b \neq 0\).
Il existe un unique point \(G\) vérifiant :
Le point \(G\) s’appelle le barycentre des points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\) ou barycentre du système pondéré \(\{(A; a), (B; b)\}\).
Condition d’existence : \(a + b \neq 0\).
Si \(a = b\), le point \(G\) est appelé l’isobarycentre des points \(A\) et \(B\).
Si \(G\) est le barycentre des points pondérés \((A; a)\) et \((B; b)\), alors \(G\) est aussi le barycentre des points pondérés \((A; ka)\) et \((B; kb)\) pour tout réel \(k \neq 0\).
Utilité : Cette propriété permet de simplifier les coefficients en les multipliant par un réel non nul.
Soient \((A; a)\) et \((B; b)\) deux points pondérés tels que \(a + b \neq 0\).
\(G\) est le barycentre de \((A; a)\) et \((B; b)\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan :
Soient \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) deux points du plan muni d’un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\) et \((B; b)\), alors :
Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) trois points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\).
Il existe un point \(G\) unique vérifiant :
Le point \(G\) est appelé barycentre des points pondérés \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\).
Condition d’existence : \(a + b + c \neq 0\).
Si \(a = b = c\), le point \(G\) est appelé l’isobarycentre (ou centre de gravité) des points \(A\), \(B\) et \(C\).
Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) trois points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\).
\(G\) est le barycentre de ces trois points si et seulement si pour tout point \(M\) du plan :
Soient \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\) des points pondérés tels que \(a + b + c \neq 0\) et \(a + b \neq 0\).
Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), \((C; c)\) et \(H\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), alors \(G\) est le barycentre de \((H; a+b)\) et \((C; c)\).
Soient \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) et \(C(x_C; y_C)\) trois points du plan muni d’un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\) et \((C; c)\), alors :
La définition et les propriétés du barycentre se généralisent à quatre points pondérés.
Soient \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\), \(C(x_C; y_C)\) et \(D(x_D; y_D)\). Si \(G\) est le barycentre de \((A; a)\), \((B; b)\), \((C; c)\) et \((D; d)\), alors :
Remarque : On peut utiliser l’associativité pour construire progressivement le point \(G\) en regroupant les points deux par deux.
📝Exercice 1 : Détermination des coefficients du barycentre
Soient \( A \) et \( B \) deux points. Déterminer \( a \) et \( b \) tels que \( G \) soit le barycentre de \( (A; a) \) et \( (B; b) \) défini par la condition indiquée :
\( 2\overrightarrow{GA} – 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)
\( 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{0} \)
On a \( \overrightarrow{BG} = -\overrightarrow{GB} \). Donc :
Par définition du barycentre, \( G = \text{Bar}\{(A; \alpha), (B; \beta)\} \) signifie :
Par identification, on obtient :
Vérification : \( a + b = 5 \neq 0 \), donc \( G \) existe bien.
Remarque : \( G = \text{Bar}\{(A; 2), (B; 3)\} \). Le point \( G \) est plus proche de \( A \) que de \( B \) (car \( a=2 < b=3 \), donc \( G \) est plus proche de \( A \) ).
Il est plus simple d’exprimer \( G \) en fonction de \( A \) et \( B \).
On a :
Par ailleurs, pour \( G = \text{Bar}\{(A; 2), (B; 1)\} \)
Donc :
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📐Exercice 2 : Construction du barycentre de deux points
Construire \( G \) dans les cas suivants :
\( G = \text{Bar}\{(A; 4), (B; -5)\} \)
\( G = \text{Bar}\{(A; \sqrt{8}), (B; -\sqrt{2})\} \)
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📝Exercice 3 : Propriétés du barycentre
Soit \( G \) le barycentre de \( (A; 1) \) et \( (B; -2) \).
Montrer que \( A \) est le barycentre de \( (G; 1) \) et \( (B; -2) \).
Montrer que \( B \) est le milieu de \( [AG] \).
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📐Exercice 4 : Construction de barycentres et relation vectorielle
Soient \( A \) et \( B \) deux points du plan.
Construire \( G = \text{Bar}\{(A; -1), (B; 3)\} \).
Construire \( G’ = \text{Bar}\{(A; 3), (B; -2)\} \).
Déterminer \( \overrightarrow{GG’} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \).
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📝Exercice 5 : Coordonnées d’un barycentre
Dans le plan \( (P) \) rapporté à un repère \( R(O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient \( A(3; 2) \) et \( B(4; 1) \) et soit :
Déterminer les coordonnées de \( G \).
Déterminer les coordonnées du point \( G \).
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📐Exercice 6 : Coordonnées d’un barycentre dans un repère non standard
Soit \( ABC \) un triangle et soit :
Déterminer les coordonnées du point \( I \) dans le repère \( R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \).
Déterminer les coordonnées du point \( I \) dans le repère \( R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \).
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📐Exercice 7 : Barycentre et intersection de deux droites
Soient \( E \) et \( F \) deux points du plan tels que :
et \( G \) est le barycentre des points \( (A; 2) \) et \( (B; -3) \).
Montrer que \( G \) est le barycentre des points \( (E; -1) \) et \( (F; 2) \).
En déduire que les droites \( (EF) \) et \( (AB) \) se coupent et déterminer le point d’intersection.
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📍Exercice 8 : Ensemble des points vérifiant une égalité vectorielle
Dans le plan \( (P) \) rapporté à un repère \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient \( A(0; 5) \) et \( B(3; 2) \).
Et soit \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; 2)\} \).
Déterminer les coordonnées de \( G \).
Déterminer et dessiner l’ensemble suivant :
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📐Exercice 9 : Construction du barycentre de trois points
Soit \( ABC \) un triangle.
Construire \( G = \text{Bar}\{(A; 1), (B; -1), (C; 3)\} \).
Construire \( G = \text{Bar}\{(A; 4), (B; \frac{1}{2}), (C; -3)\} \).
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📝Exercice 10 : Raisonnement par équivalence
Montrer les équivalences suivantes :
Soit \( x \in \mathbb{R} \); Montrer que :
\[ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \leq \frac{3}{2} \]
Soient \( x \) et \( y \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ \sqrt{x + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \iff x = 0 \text{ ou } y = 0 \]
Soient \( a \) et \( b \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ (a + b = 0) \iff (a = 0 \text{ et } b = 0) \]
Soient \( x \) et \( y \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ (x + y + 13 = 4\sqrt{x} + 6\sqrt{y}) \iff (x = 4 \text{ et } y = 9) \]
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📝Exercice 11 : Équivalences et inégalités
Montrer les propositions suivantes :
Montrer que :
\( (\forall x \neq -1)(\forall y \neq -1) : \frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \iff x = y \)
Montrer, pour tout \( x \) de \( \mathbb{R}^+ \), que :
\( (\sqrt{2x+2} = 1 + \sqrt{x}) \iff (x = 1) \)
Montrer, pour tout \( x \) de \( [1; +\infty[ \), que :
\( \frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2} \)
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📝Exercice 12 : Équivalences avec racines et valeur absolue
Montrer les équivalences suivantes :
Soit \( x \) un réel. Montrer que :
\[ \frac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \iff x = \sqrt{3} \text{ ou } x = -\sqrt{3} \]
Montrer que pour tout \( x \) de \( \mathbb{R} \) :
\[ |x – 1| < \frac{1}{2} \iff \frac{2}{5} < \frac{1}{x+1} < \frac{2}{3} \]
Soient \( a \in [1; +\infty[ \) et \( b \in [4; +\infty[ \). Montrer que :
\[ \sqrt{a – 1} + 2\sqrt{b – 4} = \frac{a+b}{2} \iff a = 2 \text{ et } b = 8 \]
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📝Exercice 13 : Disjonction des cas
Montrer les propositions suivantes en utilisant la disjonction des cas :
Soit \( n \in \mathbb{N} \); Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l’entier \( n^2 + n + 1 \) est impair.
Soit \( n \in \mathbb{N} \); Montrer que \( n(n+1)(n+2) \) est un multiple de 3.
Montrer que : \( (\forall x \in \mathbb{R}) ; \sqrt{x^2 + 1} – x > 0 \)
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation : \( (E_1) : x^2 – |x – 1| – 1 = 0 \)
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation : \( (E_2) : |x + 1| – 3|x – 2| + 1 = 0 \)
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📝Exercice 14 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation suivante :
\[ |x-1| + 2x – 3 \geq 0 \]
Déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation :
\( |x-1| + 2x – 3 \geq 0 \)
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📝Exercice 15 : Raisonnement par contraposée
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par contraposée :
\( (y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 – 8 \neq 0) \)
\( (x \neq 0) \Rightarrow \left(\sqrt{x+1} \neq 1 + \frac{x}{2}\right) \)
Si \( n^2 \) est pair alors \( n \) est pair (\( n \in \mathbb{N} \))
\( (x \neq y) \Rightarrow (x^2 – 4x \neq y^2 – 4y) \) avec \( x, y \in ]2; +\infty[ \)
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📝Exercice 16 : Raisonnement par contraposée
Montrer les implications suivantes en utilisant le raisonnement par contraposée :
\( (\forall a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R}) : a + b > 1 \implies \left(a > \dfrac{1}{2} \text{ ou } b > \dfrac{1}{2}\right) \)
\( (\forall x > 1)(\forall y > 1) : x \neq y \implies \dfrac{x}{1 + x^2} \neq \dfrac{y}{1 + y^2} \)
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🔍Exercice 17 : Raisonnement par contre-exemple
Montrer que les propositions suivantes sont fausses en utilisant un contre-exemple :
\( P_1 : \forall x \in \mathbb{R} : x + 1 = 2 \)
\( P_2 : \forall x \in \mathbb{R}^* : x + \dfrac{1}{x} \geq 2 \)
\( P_3 : (\forall a \in \mathbb{R}^+)(\forall b \in \mathbb{R}^+) : \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
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📝Exercice 18 : Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
\( (\forall x \in \mathbb{R} – \{\frac{2}{3}\}) : \dfrac{4x+1}{3x-2} \neq \dfrac{4}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : \dfrac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N} \)
\( (\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2 + 1} < 0 \)
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📝Exercice 19 : Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
Montrer que \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \) ( \( \sqrt{2} \) n’est pas un nombre rationnel).
Soient \( x, y, z \in \mathbb{R}_+^* \) tels que \( x + y + z < \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \) et \( xyz > 1 \).
Montrer que \( x \neq 1 \), \( y \neq 1 \) et \( z \neq 1 \).
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📝
Exercice 20: Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
\( (\forall x \in \mathbb{R} – \{\frac{2}{3}\}) : \dfrac{4x+1}{3x-2} \neq \dfrac{4}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : \dfrac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N} \)
\( (\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2 + 1} < 0 \)
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📝Exercice 21 : Raisonnement par récurrence
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par récurrence :
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 5^n – 3^n \) est divisible par 2.
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} – 1 \)
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📝Exercice 22 : Raisonnement par récurrence
Montrer par récurrence les propositions suivantes :
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 7^n – 2^n \) est divisible par 5
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^n = \dfrac{4^{n+1} – 1}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[ \dfrac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : 2^n \geq n \)
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📝Exercice 23 :
Effectuer les tâches suivantes :
Développer le produit : \( (n + 2)(2n + 3) \)
Montrer par récurrence que :
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
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Le barycentre dans le plan – exercices corrigés