Le barycentre dans le plan – cours

Le barycentre dans le plan – cours

Exercices corrigés
Évaluation

 BARYCENTRE

Premier Bac Sciences Expérimentales

I

Barycentre de deux points pondérés

1) Définition et existence

Soient A et B deux points du plan, et a et b deux réels (appelés poids ou coefficients) tels que a + b ≠ 0. Le barycentre du système pondéré {(A, a), (B, b)} est l’unique point G du plan vérifiant la relation vectorielle :

\( a \overrightarrow{GA} + b \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \)

On note : \( G = \text{bar}\{(A, a); (B, b)\} \).

Démonstration de l’existence et de l’unicité :

\( a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec{0} \iff a\overrightarrow{GA} + b(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0} \)
\( \iff (a+b)\overrightarrow{GA} = -b\overrightarrow{AB} \iff (a+b)\overrightarrow{AG} = b\overrightarrow{AB} \)
Puisque \( a+b \neq 0 \), on obtient : \( \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \).
Le vecteur \( \overrightarrow{AG} \) est donc parfaitement déterminé, ce qui prouve l’existence et l’unicité du point G.

📌 Exemple :

Enoncé : Soient A et B deux points distincts. Placer le point \( G = \text{bar}\{(A, 2); (B, 1)\} \).

Résolution :
\( G = \text{bar}\{(A, 2); (B, 1)\} \iff 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0} \)
\( \iff 2\overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0} \)
\( \iff 3\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \)

Interprétation géométrique : Le point G est situé sur le segment [AB] au tiers de la distance à partir de A. Autrement dit, \( AG = \frac{1}{3} AB \).


Vérification : On a bien \( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \), donc le point G est unique et bien défini.

2) Cas particulier : l’isobarycentre

Lorsque les deux poids sont égaux (\( a = b \)), le barycentre est appelé isobarycentre des points A et B. Dans ce cas, G est le milieu du segment [AB].

Exemple : Si I est le milieu de [AB], alors \( I = \text{bar}\{(A, 1); (B, 1)\} = \text{bar}\{(A, 5); (B, 5)\} \).
En effet, \( 1\overrightarrow{IA} + 1\overrightarrow{IB} = \vec{0} \) (car les vecteurs sont opposés), donc I vérifie la définition du barycentre avec a = b = 1.

3) Propriété fondamentale (caractéristique)

Le point G est le barycentre de (A, a) et (B, b) si et seulement si, pour tout point M du plan, on a :

\( a \overrightarrow{MA} + b \overrightarrow{MB} = (a+b) \overrightarrow{MG} \)

Cette formule est extrêmement utile car elle permet de transformer une somme de vecteurs ayant pour origine un point M quelconque en un seul vecteur \( \overrightarrow{MG} \) multiplié par la somme des poids.

Conséquences immédiates :

  • En prenant \( M = A \) : \( \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \)
  • En prenant \( M = B \) : \( \overrightarrow{BG} = \dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{BA} \)
  • Les points A, B et G sont toujours alignés (G appartient à la droite (AB)).

📌 Exemple :

Enoncé : Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que \( \|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}\| = 15 \).

Résolution :
Soit \( G = \text{bar}\{(A, 2); (B, 3)\} \). D’après la propriété caractéristique :
\( 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = (2+3)\overrightarrow{MG} = 5\overrightarrow{MG} \).
L’équation devient : \( \|5\overrightarrow{MG}\| = 15 \iff 5 \times MG = 15 \iff MG = 3 \).

Conclusion : L’ensemble des points M est le cercle de centre G et de rayon 3.

4) Coordonnées du barycentre de deux points

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), si A(xA; yA) et B(xB; yB), alors les coordonnées du barycentre G = bar{(A, a); (B, b)} sont données par :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B}{a+b} \quad \text{et} \quad y_G = \dfrac{a y_A + b y_B}{a+b} \)

Ces formules sont les moyennes pondérées des coordonnées des points A et B.

📌 Exemple :

Enoncé : Soient A(-2; 3) et B(1; 4). Déterminer les coordonnées de \( G = \text{bar}\{(A, 3); (B, 1)\} \).

Résolution :
\( x_G = \dfrac{3 \times (-2) + 1 \times 1}{3+1} = \dfrac{-6 + 1}{4} = \dfrac{-5}{4} \)
\( y_G = \dfrac{3 \times 3 + 1 \times 4}{4} = \dfrac{9 + 4}{4} = \dfrac{13}{4} \)

Conclusion : Les coordonnées de G sont \( G\left(-\dfrac{5}{4}; \dfrac{13}{4}\right) \).

II

Barycentre de trois points pondérés

1) Définition

Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a + b + c ≠ 0. Le barycentre G de ces trois points est l’unique point vérifiant :

\( a \overrightarrow{GA} + b \overrightarrow{GB} + c \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \)

On note : \( G = \text{bar}\{(A, a); (B, b); (C, c)\} \).

📌 Cas particulier important :

Si a = b = c, le point G est l’isobarycentre (ou centre de gravité) du triangle ABC.
Dans ce cas, la relation devient : \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \).
Le centre de gravité G est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Exemple : Pour un triangle ABC, le centre de gravité G vérifie \( \overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA’} \), où A’ est le milieu de [BC].

2) Propriété caractéristique (généralisation)

G = bar{(A, a); (B, b); (C, c)} si et seulement si, pour tout point M du plan :

\( a \overrightarrow{MA} + b \overrightarrow{MB} + c \overrightarrow{MC} = (a+b+c) \overrightarrow{MG} \)

Cette propriété est la clé pour résoudre la plupart des exercices sur les barycentres : elle permet de transformer une expression vectorielle en une expression ne dépendant que de M et du barycentre G.

📌 Exemple :

Enoncé : Déterminer l’ensemble des points M tels que \( \| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \| = 6 \).

Résolution :
Soit G le centre de gravité du triangle ABC (isobarycentre). On a \( G = \text{bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 1)\} \).
D’après la propriété caractéristique : \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \).
L’équation devient : \( \|3\overrightarrow{MG}\| = 6 \iff 3 \times MG = 6 \iff MG = 2 \).

Conclusion : L’ensemble des points M est le cercle de centre G (centre de gravité de ABC) et de rayon 2.

3) Coordonnées du barycentre de trois points

Dans un repère, si A(xA; yA), B(xB; yB) et C(xC; yC), alors :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c} \quad ; \quad y_G = \dfrac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c} \)

📌 Exemple :

Enoncé : Déterminer les coordonnées de G = bar{(A, 2); (B, -3); (C, -6)} avec A(1; 4), B(0; 5) et C(2; -1).

Résolution :
La somme des poids est : \( 2 + (-3) + (-6) = -7 \neq 0 \).
\( x_G = \dfrac{2(1) + (-3)(0) + (-6)(2)}{-7} = \dfrac{2 + 0 – 12}{-7} = \dfrac{-10}{-7} = \dfrac{10}{7} \)
\( y_G = \dfrac{2(4) + (-3)(5) + (-6)(-1)}{-7} = \dfrac{8 – 15 + 6}{-7} = \dfrac{-1}{-7} = \dfrac{1}{7} \)

Conclusion : \( G\left(\dfrac{10}{7}; \dfrac{1}{7}\right) \).

4) Propriété d’associativité (ou de regroupement)

Cette propriété est fondamentale pour construire un barycentre de plusieurs points en le décomposant en barycentres partiels.

Énoncé : Si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors le barycentre G de (A, a), (B, b) et (C, c) est aussi le barycentre de (H, a+b) et (C, c).

📌 Exemple :

Enoncé : Soit ABC un triangle. Soit K défini par \( \overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB} \). Soit G = bar{(A, -2); (B, 3); (C, 3)}.
1) Vérifier que K = bar{(A, -2); (B, 3)}.
2) Montrer que G = bar{(K, 1); (C, 3)}.

Résolution :
1) \( K = \text{bar}\{(A, -2); (B, 3)\} \iff -2\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KB} = \vec{0} \).
On sait que \( \overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB} \), donc K est aligné avec A et B.
Vérification : \( -2\overrightarrow{KA} = -2(\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA}) \), on retrouve bien la relation.
2) Par associativité : puisque K = bar{(A, -2); (B, 3)}, alors
\( G = \text{bar}\{(A, -2); (B, 3); (C, 3)\} = \text{bar}\{(K, -2+3); (C, 3)\} = \text{bar}\{(K, 1); (C, 3)\} \).

Interprétation : G est donc aligné avec K et C. On dit que G est sur la droite (CK).

III

Barycentre de quatre points pondérés

1) Définition générale

La notion de barycentre se généralise à n points (n ≥ 2). Pour quatre points pondérés (A, a), (B, b), (C, c) et (D, d) avec a + b + c + d ≠ 0, le barycentre G est l’unique point vérifiant :

\( a \overrightarrow{GA} + b \overrightarrow{GB} + c \overrightarrow{GC} + d \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \)

On note : \( G = \text{bar}\{(A, a); (B, b); (C, c); (D, d)\} \).

2) Propriété caractéristique généralisée

Pour tout point M du plan :

\( a \overrightarrow{MA} + b \overrightarrow{MB} + c \overrightarrow{MC} + d \overrightarrow{MD} = (a+b+c+d) \overrightarrow{MG} \)

3) Coordonnées du barycentre de quatre points

Dans un repère, les coordonnées de G sont les moyennes pondérées des coordonnées des quatre points :

\( x_G = \dfrac{a x_A + b x_B + c x_C + d x_D}{a+b+c+d} \quad ; \quad y_G = \dfrac{a y_A + b y_B + c y_C + d y_D}{a+b+c+d} \)

📌 Exemple :

Enoncé : Construire le barycentre \( G = \text{bar}\{(A, -1); (B, 3); (C, -1); (D, 2)\} \).

Méthode par associativité (construction pas à pas) :
1) On regroupe d’abord les points deux par deux :
\( G_1 = \text{bar}\{(A, -1); (B, 3)\} \) → somme des poids : -1 + 3 = 2
\( G_2 = \text{bar}\{(C, -1); (D, 2)\} \) → somme des poids : -1 + 2 = 1

2) Par la propriété d’associativité :
\( G = \text{bar}\{(G_1, 2); (G_2, 1)\} \)

3) Construction effective :
– Placer G₁ sur la droite (AB) en utilisant \( \overrightarrow{AG_1} = \dfrac{3}{-1+3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \).
– Placer G₂ sur la droite (CD) en utilisant \( \overrightarrow{CG_2} = \dfrac{2}{-1+2}\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CD} \).
– Placer G sur la droite (G₁G₂) en utilisant \( \overrightarrow{G_1G} = \dfrac{1}{2+1}\overrightarrow{G_1G_2} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{G_1G_2} \).



Interprétation : Cette méthode permet de construire le barycentre de 4 points en utilisant uniquement des barycentres de 2 points, ce qui est beaucoup plus simple géométriquement.

4) Généralisation à n points

Pour n points pondérés (A₁, a₁), (A₂, a₂), …, (An, an) avec \( \sum_{i=1}^{n} a_i \neq 0 \), le barycentre G vérifie :

\( \sum_{i=1}^{n} a_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0} \)   et   \( \sum_{i=1}^{n} a_i \overrightarrow{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \overrightarrow{MG} \)

Les coordonnées de G sont obtenues par les mêmes formules de moyenne pondérée.

IV

Applications géométriques

1) Alignement et droites concourantes

Le barycentre est un outil puissant pour prouver que trois points sont alignés ou que trois droites sont concourantes.

📌 Exemple : Alignement

Enoncé : Soit ABC un triangle. Définissons les points :
– K tel que \( \overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB} \)
– H tel que \( \overrightarrow{AH} = 3\overrightarrow{AC} \)
– I le milieu de [BC]
Soit G = bar{(A, -2); (B, 3); (C, 3)}.
Montrer que les droites (CK), (BH) et (AI) sont concourantes en G.

Résolution :
1) \( K = \text{bar}\{(A, -2); (B, 3)\} \) (vérifié dans l’exemple précédent).
2) De même, \( H = \text{bar}\{(A, -2); (C, 3)\} \).
3) Par associativité :
– \( G = \text{bar}\{(K, 1); (C, 3)\} \) → donc G ∈ (CK)
– \( G = \text{bar}\{(H, 1); (B, 3)\} \) → donc G ∈ (BH)
– \( G = \text{bar}\{(A, -1); (I, 3)\} \) (car I = bar{(B,1);(C,1)} et -2+3 = 1 pour B et C, puis regroupement avec A) → donc G ∈ (AI)

Conclusion : Les trois droites (CK), (BH) et (AI) sont concourantes au point G.

2) Détermination d’ensembles de points (cercles, médiatrices)

La propriété caractéristique permet de transformer une condition vectorielle en une condition métrique (distance), ce qui donne souvent un cercle ou une médiatrice.

📌 Exemple : Médiatrice

Enoncé : Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que \( \|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\| \).

Résolution :
Soit \( G_1 = \text{bar}\{(A, 2); (B, 1); (C, -1)\} \). La somme des poids est \( 2+1-1 = 2 \neq 0 \).
Donc : \( 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MG_1} \).
Soit \( G_2 = \text{bar}\{(A, 3); (B, -1)\} \). La somme des poids est \( 3-1 = 2 \neq 0 \).
Donc : \( 3\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MG_2} \).
L’équation devient : \( \|2\overrightarrow{MG_1}\| = \|2\overrightarrow{MG_2}\| \iff 2 MG_1 = 2 MG_2 \iff MG_1 = MG_2 \).

Conclusion : L’ensemble des points M est la médiatrice du segment [G₁G₂].

📌 Exemple : Cercle

Enoncé : Déterminer l’ensemble des points M tels que \( \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\| = 12 \).

Résolution :
Soit \( G = \text{bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 3)\} \). La somme des poids est \( 1+2+3 = 6 \).
D’après la propriété caractéristique : \( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 6\overrightarrow{MG} \).
L’équation devient : \( \|6\overrightarrow{MG}\| = 12 \iff 6 MG = 12 \iff MG = 2 \).

Conclusion : L’ensemble des points M est le cercle de centre G et de rayon 2.

📌 À retenir

Le barycentre est un outil fondamental de la géométrie vectorielle. Il permet :

  • ✅ De définir des points uniques à partir de relations vectorielles
  • ✅ De démontrer l’alignement de points et la concurrence de droites
  • ✅ De déterminer des ensembles de points (cercles, médiatrices, etc.)
  • ✅ De simplifier des expressions vectorielles complexes

Les propriétés de conservation, de caractérisation et d’associativité sont les trois piliers à maîtriser pour réussir tous les exercices sur le barycentre.

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