Les nombres relatifs : Addition et soustraction

I- Addition de deux nombres relatifs

1) Somme de deux nombres de même signe

Règle

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne leur distance à zéro.

Exemples :

$(+ 7.5) + (+ 1.8) = (+ 9.3)$

$(- 4.5) + (- 2.3) = (- 6.8)$

$1.7 + 0.3 = 2$

$(- 2) + (- 3) = - 5$

2) Somme de deux nombres de signe contraires

Règle

Pour additionner deux nombres relatifs de signes conraires, on prend le signe du nombre le plus loin de zéro, et on soustrait leur distance à zéro.

Exemples :

$(+ 2.1) + (- 8) = (- 5.9)$

$(- 1.5) + (6.8) = (+ 5.3)$

$5.7 + (- 9) = - 3.3$

$(- 9) + (+ 12) = + 3$

Remarque

$⋆$ La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro $(0) : (- 3) + (+ 3) =$ 0

$⋆$ Soit $a$ un nombre décimal relatif, on a : $a + 0 = 0 + a = a$

Exemples :

$(- 3) + (+ 3) = 0$

$(+ 1.5) + (- 1.5) = 0$

$5.7 + (- 5.7) = 0$

$(- 9) + (+ 9) = 0$

2) Somme de plusieurs nombres relatifs

Règle

Pour additionner plusieurs nombres relatifs ,on calcule les nombres par deux en partant de la gauche vers la droite.

Exemple :

$A = (+ 3) + (- 5) + (- 4) + (+ 9)$
$= (- 2) + (- 4) + (+ 9)$
$= (- 6) + (+ 9)$
$= (+ 3)$

Règle

Pour additionner plusieurs nombres relatifs ,on peut grouper tous les positifs d’abord, puis tous les négatifs.

Exemple :

$B = (+ 3) + (- 5) + (- 4) + (+ 9)$
$= (+ 3) + (+ 9) + (- 5) + (- 4)$
$= (+ 12) + (- 9)$
$= (+ 3)$

II- Soustraction de deux nombres relatifs

1) Soustraction

Mèthode

Pour soustraire un nombre relatif, on ajout son opposé

Autrement dit : Si $a$ et $b$ sont deux nombres relatifs, alors $a - b = a + (- b)$

Exemple :

$1, 2 - 5 = 1, 2 + (- 5) = - .8$

$(- 2.5) - (- 7) = (- 2.5) + (7) = 4.5$

Remarque

La différence de deux nombres relatifs égaux est égale à zéro (0)

Exemple :

$(- 11) - (- 11) = 0$

$(- 7.5) - (- 7.5) = 0$

$(- 2.3) - (- 2.3) = 0$

$(- 9.35) - (- 9.35) = 0$

2) Suppression des parenthèses

Règle

$⋆$ Quand deux $(+)$ se touchent, on les remplace par +
• Par exemple : $3 + (+ 5) = 3 + 5$

$⋆$ Quand deux $(-)$ se touchent, on les remplace par +
•Par exemple : $3 - (- 5) = 3 + 5$

$⋆$ Quand deux signes contraires, $(+)$ et $(-)$ , se touchent, on les remplace par –
•Par exemple : $3 - (+ 5) = 3 - 5$ ou $5 + (- 3) = 5 - 3$

Exemples :

$5.7 + (+ 1.3) = 5.7 + 1.3 = 7$

$- 7.5 - (- 2.5) = - 7.5 + 2.5 = - 5$

$2.3 + (- 1) = 2.3 - 1 = 1.3$

Règle

$⋆$ Si une parenthèse est précédée du signe $(+)$ , on peut supprimer la parenthèse sans rien changer.

$⋆$ Si une parenthèse est précédée du signe $(-)$ , on peut supprimer la parenthèse à condition de changer tous les signes des termes entre parenthèses.

Exemples :

$5.7 + (4 + 1.3) = 5.7 + 4 + 1.3 = 9.7 + 1.3 = 11$

$7.5 + (3 - 2.5) = - 7.5 + 3 - 2.5 = - 4.5 - 2.5 = 7$

$2.3 - (5 - 1) = 2.3 - 5 + 1 = - 2.7 + 1 = - 1.7$

$- 9.3 - (- 3 + 6.3) = - 9.3 + 3 - 6.3 = - 6.3 - 6.3 = - 12.6$

3) Distance entre deux points

Propriété

Pour calculer la distance entre deux points, sur une droite graduée, on eefctue la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.

Exemple :

Soit la droite gradué suivante ou on a placé les points $A$ et $B$

Calculer la distance $A B$

On a l’abscisse de $A$ est ( -2 ) et l’abscisse de $B$ est ( +3 )

Le plus grand de ces abscisse est celui de $B$

Donc : $A B = (+ 3) - (- 2) = (+ 3) + (+ 2) = (+ 5)$

4) Addition et soustraction de plusieurs nombres relatifs

a) Calcul sans parenthèses

Exemple :

$A = - 9 + 5 - 13 - 2 + 6 - 3$

$A = - 4 - 13 - 2 + 6 - 3$

$A = - 17 - 2 + 6 - 3$

$A = - 19 + 6 - 3$

$A = - 13 - 3$

$A = - 16$

b) Calcul avec parenthèses

Exemples :

$B = - 6.8 + 8.7 + (- 3.2)$

$= 1.9 + (- 3.2)$

$= 1.9 - 3.2$

$= - 1.3$

$C = - 3 + (- 2) + 5 + 17$

$= - ⧸ 5 + ⧸ 5 + 17$

$= 17$

Les nombres relatifs : Addition et soustraction