Addition de deux nombres relatifs

Règle : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

📌 Exemples :

Exemple 1 : \((+7,5) + (+1,8) = (+9,3)\)
Explication : Les deux nombres sont positifs, on garde le signe + et on additionne 7,5 + 1,8 = 9,3.

Exemple 2 : \((-4,5) + (-2,3) = (-6,8)\)
Explication : Les deux nombres sont négatifs, on garde le signe – et on additionne 4,5 + 2,3 = 6,8.

Exemple 3 : \(1,7 + 0,3 = 2\)
Explication : \(1,7 = +1,7\) et \(0,3 = +0,3\) → même signe positif → on additionne.

Exemple 4 : \((-2) + (-3) = -5\)
Explication : Deux nombres négatifs → on garde le signe – et on additionne 2 + 3 = 5.

Règle : Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on prend le signe du nombre le plus loin de zéro, et on soustrait leurs distances à zéro.

📌 Exemples :

Exemple 1 : \((+2,1) + (-8) = (-5,9)\)
Explication : 8 a la plus grande distance à zéro (8 > 2,1), donc le résultat est négatif. On soustrait : 8 – 2,1 = 5,9.

Exemple 2 : \((-1,5) + (+6,8) = (+5,3)\)
Explication : 6,8 a la plus grande distance à zéro (6,8 > 1,5), donc le résultat est positif. On soustrait : 6,8 – 1,5 = 5,3.

Exemple 3 : \(5,7 + (-9) = -3,3\)
Explication : 9 a la plus grande distance (9 > 5,7), résultat négatif. 9 – 5,7 = 3,3.

Exemple 4 : \((-9) + (+12) = +3\)
Explication : 12 a la plus grande distance (12 > 9), résultat positif. 12 – 9 = 3.

Remarques :
• La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro : \((-3) + (+3) = 0\).
• Soit \(a\) un nombre décimal relatif, on a : \(a + 0 = 0 + a = a\).
Exemples : \((-3)+(+3)=0\) ; \((+1,5)+(-1,5)=0\) ; \(5,7+(-5,7)=0\).

Règle 1 (de gauche à droite) : Pour additionner plusieurs nombres relatifs, on calcule les nombres par deux en partant de la gauche vers la droite.

📌 Exemple : \(A = (+3) + (-5) + (-4) + (+9)\)

Étape 1 : On calcule \((+3) + (-5) = -2\) (signes contraires, 5 > 3, résultat négatif).
\(A = (-2) + (-4) + (+9)\)
Étape 2 : On calcule \((-2) + (-4) = -6\) (même signe négatif).
\(A = (-6) + (+9)\)
Étape 3 : On calcule \((-6) + (+9) = +3\) (signes contraires, 9 > 6, résultat positif).
Résultat : \(A = +3\)

Règle 2 (regroupement) : Pour additionner plusieurs nombres relatifs, on peut grouper tous les positifs d’abord, puis tous les négatifs.

📌 Exemple : \(B = (+3) + (-5) + (-4) + (+9)\)

Étape 1 : On regroupe les positifs et les négatifs.
\(B = (+3) + (+9) + (-5) + (-4)\)
Étape 2 : On additionne les positifs : \((+3) + (+9) = +12\).
Étape 3 : On additionne les négatifs : \((-5) + (-4) = -9\).
Étape 4 : On additionne les deux résultats : \((+12) + (-9) = +3\).
Résultat : \(B = +3\)

Soustraction de deux nombres relatifs

Méthode : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres relatifs, alors : \(a – b = a + (-b)\).

📌 Exemples :

Exemple 1 : \(1,2 – 5 = 1,2 + (-5) = -3,8\)
Explication : On transforme la soustraction en addition de l’opposé de 5, qui est -5.

Exemple 2 : \((-2,5) – (-7) = (-2,5) + (+7) = 4,5\)
Explication : On ajoute l’opposé de -7, qui est +7.

Remarque : La différence de deux nombres relatifs égaux est égale à zéro.
Exemples : \((-11)-(-11)=0\) ; \((-7,5)-(-7,5)=0\).

Règle des signes qui se touchent :

• Quand deux \((+)\) se touchent, on les remplace par \(+\) : \(3+(+5)=3+5\)
• Quand deux \((-)\) se touchent, on les remplace par \(+\) : \(3-(-5)=3+5\)
• Quand deux signes contraires \((+)\) et \((-)\) se touchent, on les remplace par \(-\) : \(3-(+5)=3-5\) ou \(5+(-3)=5-3\)

📌 Exemples :

\(5,7 + (+1,3) = 5,7 + 1,3 = 7\)
\(-7,5 – (-2,5) = -7,5 + 2,5 = -5\)
\(2,3 + (-1) = 2,3 – 1 = 1,3\)

Règle de suppression des parenthèses :

• Si une parenthèse est précédée du signe \((+)\), on peut supprimer la parenthèse sans rien changer.
• Si une parenthèse est précédée du signe \((-)\), on peut supprimer la parenthèse à condition de changer tous les signes des termes entre parenthèses.

📌 Exemples détaillés :

Exemple 1 : \(5,7 + (4 + 1,3)\)
\(= 5,7 + 4 + 1,3 = 9,7 + 1,3 = 11\)
Explication : La parenthèse est précédée de +, on la supprime sans changer les signes.

Exemple 2 : \(7,5 + (3 – 2,5)\)
\(= 7,5 + 3 – 2,5 = 10,5 – 2,5 = 8\)

Exemple 3 : \(2,3 – (5 – 1)\)
\(= 2,3 – 5 + 1 = -2,7 + 1 = -1,7\)
Explication : La parenthèse est précédée de -, on change les signes : (5 – 1) devient (-5 + 1).

Exemple 4 : \(-9,3 – (-3 + 6,3)\)
\(= -9,3 + 3 – 6,3 = -6,3 – 6,3 = -12,6\)
Explication : La parenthèse est précédée de -, on change les signes : (-3 + 6,3) devient (+3 – 6,3).

Propriété : Pour calculer la distance entre deux points sur une droite graduée, on effectue la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.

📌 Exemple : Sur une droite graduée, A a pour abscisse -2 et B a pour abscisse +3.

On a l’abscisse de A est \((-2)\) et l’abscisse de B est \((+3)\).
Le plus grand de ces abscisses est celui de B \((+3)\).
Donc : \(AB = (+3) – (-2) = (+3) + (+2) = 5\)
Résultat : La distance AB est égale à 5 unités.

📌 Exemple a) Calcul sans parenthèses : \(A = -9 + 5 – 13 – 2 + 6 – 3\)

Étape 1 : On calcule de gauche à droite.
\(A = -4 – 13 – 2 + 6 – 3\) \((-9 + 5 = -4)\)
Étape 2 : \(A = -17 – 2 + 6 – 3\) \((-4 – 13 = -17)\)
Étape 3 : \(A = -19 + 6 – 3\) \((-17 – 2 = -19)\)
Étape 4 : \(A = -13 – 3\) \((-19 + 6 = -13)\)
Étape 5 : \(A = -16\) \((-13 – 3 = -16)\)
Résultat : \(A = -16\)

📌 Exemple b) Calcul avec parenthèses : \(B = -6,8 + 8,7 + (-3,2)\)

Étape 1 : On calcule \(-6,8 + 8,7 = 1,9\).
\(B = 1,9 + (-3,2)\)
Étape 2 : On transforme \(+ (-3,2) = -3,2\).
\(B = 1,9 – 3,2\)
Étape 3 : On soustrait : \(1,9 – 3,2 = -1,3\).
Résultat : \(B = -1,3\)

📌 Exemple c) Calcul avec parenthèses : \(C = -3 + (-2) + 5 + 17\)

Étape 1 : On transforme \(+ (-2) = -2\).
\(C = -3 – 2 + 5 + 17\)
Étape 2 : On regroupe les négatifs et les positifs.
\(C = (-3 – 2) + (5 + 17)\)
Étape 3 : \(C = -5 + 22 = 17\)
Résultat : \(C = 17\)

Tableau récapitulatif