1. Valeur de vérité (2 points)

Soient les propositions : \(P : (2+3=5 \text{ et } 4 \le 1)\) et \(Q : (3>0 \text{ ou } \frac{1}{2} \in \mathbb{Z})\)

a) Déterminer la valeur de vérité de \(P\) et de \(Q\).
b) Donner la négation de \(P\) et celle de \(Q\).

2. Lois de Morgan (2 points)

Donner la négation des propositions : \(R : (x > 0 \text{ et } x^2 = 4)\) et \(S : (x \le 2 \text{ ou } x \ge 5)\)

1. Table de vérité (1 point)

Compléter la table de vérité de \((P \Rightarrow Q)\) et \((P \iff Q)\).

2. Implication et contraposée (1.5 points)

Soit la proposition : \((x^2 = 4) \Rightarrow (x = 2 \text{ ou } x = -2)\)

a) Déterminer sa valeur de vérité.
b) Donner sa contraposée.
c) Donner sa réciproque.

3. Équivalence (1.5 points)

Montrer par équivalence que : \(\sqrt{x+1} = 2 \iff x = 3\) (avec \(x \ge -1\)).

Valeur de vérité et négation (3 points)

Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes, puis donner leur négation :

\(P : (\forall x \in \mathbb{R}) \; x^2 \ge 0\)
\(Q : (\exists x \in \mathbb{R}) \; x^2 = -1\)
\(R : (\exists! x \in \mathbb{R}) \; x^2 = 4\)

1. Raisonnement déductif (1.5 points)

Montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\; x + \dfrac{1}{x} \ge 2\).

2. Raisonnement par contraposition (1.5 points)

Soit \(x \in \mathbb{R}^+\). Montrer par contraposition que : \((x \neq 0) \Rightarrow \left(\sqrt{x+1} \neq 1 + \dfrac{x}{2}\right)\).

3. Raisonnement par disjonction des cas (1.5 points)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \((E) : x^2 – |x-1| – 1 = 0\)
(Indication : distinguer les cas \(x \ge 1\) et \(x < 1\))

4. Raisonnement par équivalence (1.5 points)

Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs. Montrer par équivalence que :

\(\sqrt{x+y} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \iff (x = 0 \text{ ou } y = 0)\)

5. Raisonnement par l’absurde (1.5 points)

Montrer par l’absurde que : \(\forall x \in \mathbb{R},\; x – \sqrt{x^2+1} < 0\).

6. Raisonnement par récurrence (1.5 points)

Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\; 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).