Notions de logique – exercices corrigés 1Bac
📐Exercice : Questions de cours (Notions de logique)
Donner la définition d’une proposition en logique mathématique. Quelles sont ses deux valeurs de vérité possibles ? Donner un exemple de proposition vraie et un exemple de proposition fausse.
Qu’est-ce qu’une fonction propositionnelle ? Donner un exemple tiré du cours.
Définir la conjonction (\( P \land Q \)) et la disjonction (\( P \lor Q \)) de deux propositions. Quand sont-elles vraies ? Donner les tables de vérité correspondantes.
Énoncer les lois de Morgan pour la négation d’une conjonction et d’une disjonction. Donner les formules mathématiques.
Donner la table de vérité de l’implication \( P \Rightarrow Q \). Quand est-elle fausse ? Donner la définition de l’implication réciproque et de l’implication contraposée.
Définir le quantificateur universel (\( \forall \)) et le quantificateur existentiel (\( \exists \)). Donner un exemple pour chacun. Définir également le quantificateur d’unicité \( \exists! \).
Définir l’équivalence de deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \Leftrightarrow Q \). Donner sa table de vérité. À quelle condition \( P \Leftrightarrow Q \) est-elle vraie ?
Énoncer le principe du raisonnement déductif. Donner un exemple tiré du cours.
Énoncer le principe du raisonnement par équivalence. Comment construit-on une chaîne d’équivalences ?
Énoncer le principe du raisonnement par disjonction des cas. Donner un exemple tiré du cours.
Énoncer le principe du raisonnement par contraposition. Quelle proposition équivalente utilise-t-on pour montrer \( P \Rightarrow Q \) ?
Énoncer le principe du raisonnement par l’absurde. Donner un exemple tiré du cours.
Énoncer le principe du raisonnement par récurrence. Quelles sont les deux étapes indispensables ? Donner un exemple tiré du cours.
Énoncer le principe du raisonnement par contre-exemple. À quel type de proposition s’applique-t-il ? Donner un exemple tiré du cours.
Une proposition est un énoncé qui a un sens et qui peut être vrai ou faux (mais pas les deux en même temps).
Ses deux valeurs de vérité possibles sont :
- V (vrai) ou 1
- F (faux) ou 0
Exemple : « \( -2 \in \mathbb{N} \) » est une proposition fausse.
« \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 \) » est une proposition vraie.
Une fonction propositionnelle est une expression contenant une ou plusieurs variables appartenant à des ensembles déterminés.
Si on remplace les variables par des éléments de ces ensembles, elle devient une proposition (vraie ou fausse).
Exemple tiré du cours : \( T : x \in \mathbb{R} ; x^2 – 1 = 0 \)
- Pour \( x = 1 \) ou \( x = -1 \), \( T \) devient une proposition vraie.
- Pour les autres valeurs de \( \mathbb{R} \), \( T \) devient une proposition fausse.
Soient \( P \) et \( Q \) deux propositions :
- Conjonction : \( P \land Q \) (\( P \) et \( Q \)) est vraie si et seulement si \( P \) et \( Q \) sont toutes les deux vraies.
- Disjonction : \( P \lor Q \) (\( P \) ou \( Q \)) est fausse si et seulement si \( P \) et \( Q \) sont toutes les deux fausses.
Tableau de vérité :
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | F |
Pour toutes propositions \( P \) et \( Q \) :
\[ \overline{P \land Q} \iff (\overline{P} \lor \overline{Q}) \]
\[ \overline{P \lor Q} \iff (\overline{P} \land \overline{Q}) \]
En français :
- La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
- La négation de « P ou Q » est « non P et non Q ».
L’implication \( P \Rightarrow Q \) est fausse uniquement lorsque \( P \) est vraie et \( Q \) est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
- Quantificateur universel \( \forall \) : « pour tout » ou « quel que soit »
La proposition \( (\forall x \in E) : P(x) \) est vraie lorsque \( P(x) \) est vraie pour tout \( x \) de \( E \). - Quantificateur existentiel \( \exists \) : « il existe au moins un »
La proposition \( (\exists x \in E) : P(x) \) est vraie lorsqu’il existe au moins un \( x \) dans \( E \) tel que \( P(x) \) soit vraie. - Quantificateur d’unicité \( \exists! \) : « il existe un unique »
La proposition \( \exists! x \in E; P(x) \) est vraie s’il existe un seul \( x \) dans \( E \) tel que \( P(x) \) soit vraie.
Exemples :
- \( (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \ge 0 \) est une proposition vraie.
- \( (\exists x \in \mathbb{R}) : 3x + 6 = 0 \) est une proposition vraie (car \( x = -2 \) convient).
- \( \exists! x \in \mathbb{R} ; x^2 – 1 = 0 \) est une proposition fausse (car deux solutions : 1 et -1).
Négation des quantificateurs :
\[ \overline{(\forall x \in E) : P(x)} \iff (\exists x \in E) : \overline{P(x)} \]
\[ \overline{(\exists x \in E) : P(x)} \iff (\forall x \in E) : \overline{P(x)} \]
L’équivalence de deux propositions \( P \) et \( Q \), notée \( P \Leftrightarrow Q \), est définie par :
\[ P \Leftrightarrow Q \iff (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P) \]
Table de vérité :
| P | Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Exemple : \( (x^2 + y^2 = 2xy) \Leftrightarrow (x = y) \) est une équivalence vraie.
Principe : Si \( P \) et \( (P \Rightarrow Q) \) sont vraies, alors \( Q \) est vraie.
C’est le principe du modus ponens (syllogisme).
Exemple tiré du cours : Pour montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}_+^* : x + \frac{1}{x} \ge 2 \), on utilise :
- On a \( (\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})^2 \ge 0 \) (proposition vraie)
- \( (\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})^2 \ge 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \ge 2 \)
- Donc \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \) est vraie.
Principe : On établit l’équivalence \( P \Leftrightarrow Q \) à l’aide d’une chaîne d’équivalences successives.
On transforme \( P \) en \( Q \) en passant par des propositions intermédiaires \( P \Leftrightarrow P_1 \Leftrightarrow P_2 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow Q \).
Exemple tiré du cours : Pour montrer \( x + y + 13 = 4\sqrt{x} + 6\sqrt{y} \Leftrightarrow x = 4 \text{ et } y = 9 \) :
\( x + y + 13 = 4\sqrt{x} + 6\sqrt{y} \)
\( \Leftrightarrow x – 4\sqrt{x} + y – 6\sqrt{y} + 13 = 0 \)
\( \Leftrightarrow (\sqrt{x} – 2)^2 + (\sqrt{y} – 3)^2 = 0 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{x} = 2 \text{ et } \sqrt{y} = 3 \)
\( \Leftrightarrow x = 4 \text{ et } y = 9 \)
Principe : Pour montrer que \( (\forall x \in E) : P(x) \) est vraie, on montre que \( P(x) \) est vraie pour une partie \( A \) de \( E \), puis que \( P(x) \) est vraie pour les \( x \) n’appartenant pas à \( A \).
Exemple tiré du cours : Pour montrer que \( \forall n \in \mathbb{N} \), \( n^2 + n + 1 \) est impair :
- Cas 1 : \( n \) pair (\( n = 2k \)) → \( n^2 + n + 1 = 2(2k^2 + k) + 1 \) (impair)
- Cas 2 : \( n \) impair (\( n = 2k + 1 \)) → \( n^2 + n + 1 = 2(2k^2 + 3k + 1) + 1 \) (impair)
- Conclusion : Dans tous les cas, \( n^2 + n + 1 \) est impair.
Principe : Pour montrer que \( P \Rightarrow Q \) est vraie, on montre sa contraposée \( \overline{Q} \Rightarrow \overline{P} \) qui lui est logiquement équivalente.
\[ (P \Rightarrow Q) \iff (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}) \]
Exemple tiré du cours : Pour montrer \( (x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x+1} \neq 1 + \frac{x}{2}) \) :
- On montre sa contraposée : \( (\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2}) \Rightarrow (x = 0) \)
Principe : Pour montrer qu’une proposition \( P \) est vraie, on suppose que \( P \) est fausse (c’est-à-dire \( \overline{P} \) vraie) et on montre que cela conduit à une contradiction (une proposition toujours fausse).
Exemple tiré du cours : Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R} – \{\frac{2}{3}\} : \frac{4x+1}{3x-2} \neq \frac{4}{3} \) :
- On suppose qu’il existe \( x \) tel que \( \frac{4x+1}{3x-2} = \frac{4}{3} \)
- Alors \( 3(4x+1) = 4(3x-2) \Rightarrow 12x + 3 = 12x – 8 \Rightarrow 3 = 8 \) (contradiction)
- Donc l’hypothèse est fausse, la proposition initiale est vraie.
Principe : Soit \( n \in \mathbb{N} \) et \( n_0 \) un entier naturel fixé. Pour montrer que la proposition \( (\forall n \ge n_0) : P(n) \) est vraie, on montre :
- Initialisation : \( P(n_0) \) est vraie.
- Hérédité : \( (\forall n \ge n_0) : (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \) est vraie.
Exemple tiré du cours : Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^* : 7^n – 2^n \) est divisible par 5 :
- Initialisation : Pour \( n = 1 \), \( 7^1 – 2^1 = 5 \) divisible par 5.
- Hérédité : Si \( 7^n – 2^n = 5k \), alors \( 7^{n+1} – 2^{n+1} = 5(7k + 2^n) \) divisible par 5.
- Conclusion : La propriété est vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).
Principe : Pour montrer qu’une proposition universelle \( (\forall x \in E) : P(x) \) est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire un élément \( a \in E \) tel que \( P(a) \) soit fausse.
Cela revient à montrer que sa négation \( (\exists x \in E) : \overline{P(x)} \) est vraie.
Exemple tiré du cours : La proposition \( (\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2} = x \) est fausse car pour \( x = -1 \) :
- \( \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1 \)
- Donc \( x = -1 \) est un contre-exemple.
Remarque : La bonne propriété est \( (\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2} = |x| \).
📝Exercice 1 : Valeur de vérité et négation
Étudier la valeur de vérité et déterminer la négation des propositions suivantes :
\( P_1 : (4 – 1 = 3 \text{ ou } 6 \leq 0) \)
\( P_2 : (8 > 5 \text{ et } \frac{1}{2} \in \mathbb{Z}) \)
\( P_3 : (1 < \sqrt{2} < 2) \)
Valeur de vérité :
- \( 4 – 1 = 3 \) est vraie (car \( 4 – 1 = 3 \))
- \( 6 \leq 0 \) est fausse (car \( 6 > 0 \))
\( P_1 \) est une disjonction (\( P \text{ ou } Q \)). Une disjonction est vraie si au moins une des deux propositions est vraie.
Ici, la première proposition est vraie, donc :
Négation :
D’après les lois de Morgan : \( \overline{P \text{ ou } Q} = \overline{P} \text{ et } \overline{Q} \)
Valeur de vérité :
- \( 8 > 5 \) est vraie (car \( 8 > 5 \))
- \( \frac{1}{2} \in \mathbb{Z} \) est fausse (car \( \frac{1}{2} \) n’est pas un entier)
\( P_2 \) est une conjonction (\( P \text{ et } Q \)). Une conjonction est vraie si les deux propositions sont vraies.
Ici, la deuxième proposition est fausse, donc :
Négation :
D’après les lois de Morgan : \( \overline{P \text{ et } Q} = \overline{P} \text{ ou } \overline{Q} \)
Valeur de vérité :
\( P_3 \) est équivalente à : \( (1 < \sqrt{2}) \text{ et } (\sqrt{2} < 2) \)
- \( 1 < \sqrt{2} \) est vraie (car \( 1^2 = 1 < 2 \))
- \( \sqrt{2} < 2 \) est vraie (car \( 2 < 4 \))
Les deux propositions sont vraies, donc :
Négation :
\( \overline{P_3} : (1 \geq \sqrt{2}) \text{ ou } (\sqrt{2} \geq 2) \)
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🔍Exercice 2 : Négation et valeur de vérité
Donner la négation et la valeur de vérité (Vrai ou Faux) de chacune des propositions suivantes :
\( P : \forall x \in \mathbb{R} \;/\; x^2 > 0 \)
\( P : \exists x \in \mathbb{R} \;/\; x^2 – 2 = 0 \)
\( P : x \in [1; 2[ \)
\( P : \forall n \in \mathbb{N} \;/\; \frac{n}{2} \in \mathbb{N} \)
\( P : (\forall x \in \mathbb{R}) \; ; -1 \leq \cos x \leq 1 \)
\( P : (\forall n \in \mathbb{N}) \; ; (\exists m \in \mathbb{N}) : n < m \)
\( P : (\exists n \in \mathbb{N}) \; 2n + 1 \text{ est pair} \)
\( P : (\forall n \in \mathbb{N}) \; ; \sqrt{n} \in \mathbb{N} \)
\( P : (\forall x \in \mathbb{R}) \; ; (\exists y \in \mathbb{R}) : y – x > 0 \)
\( P : (\exists ! x \in \mathbb{R}) \; ; 2x + 4 = 0 \)
\( P : (\exists ! x \in \mathbb{R}) \; ; x^2 = 2 \)
\( P : (\exists x \in \mathbb{Z}) \; ; \frac{x}{4} \in \mathbb{Z} \)
\( P : (\forall x \in \mathbb{R}) \; ; (\exists y \in \mathbb{R}) : y^2 = x \)
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📝Exercice 3 : Utilisation des quantificateurs
Écrire à l’aide de quantificateurs (\(\forall\), \(\exists\), \(\exists!\)) les propositions suivantes :
Le carré de tout réel est positif.
Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
Aucun entier n’est supérieur à tous les autres.
Tous les réels ne sont pas des quotients d’entiers.
Il existe un entier multiple de tous les autres.
Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
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📝Exercice 4 : Vérification et négation de propositions quantifiées
Montrer que les propositions suivantes sont vraies puis déterminer leurs négations :
\( (\exists x \in \mathbb{R}) : 3x + 6 = 0 \)
\( (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 – 3x + 2 = 0 \)
\( (\forall x \in [1; 6]) : x^2 – 7x + 6 \leq 0 \)
\( (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 – 2x + 3 > 0 \)
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📝Exercice 5 : Contre-exemple et négation d’une implication
1) Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
\( P_1 : (\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2} = x \)
\( P_2 : (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \geq x \)
Donner la négation de la proposition \((R)\) :
\( (R) : (\forall x \in \mathbb{R}) : [x^2 = 2x \Rightarrow x = 0] \)
En déduire que la proposition \(R\) est fausse.
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📝Exercice 6 : Implication et contraposée
Soit \( x \in \mathbb{R} \) ; considérons la proposition (\( P \)) :
\[(x^2 = 4x) \Rightarrow (x = 0 \text{ ou } x = 4)\]
Montrer que la proposition (\( P \)) est vraie.
Déterminer l’implication contraposée de \( P \).
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📝Exercice 7 : Raisonnement déductif (direct)
Montrer que :
\( \forall x \in \mathbb{R}_+^* : x + 1 \geq 2\sqrt{x} \)
\( \forall x \in \mathbb{R}_+^* : x + \frac{1}{x} \geq 2 \)
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📝Exercice 8 : Raisonnement déductif
Soient \( a, b \) et \( c \) des réels positifs non nuls.
Montrer que \( a + \dfrac{1}{a} \geq 2 \)
Montrer que \( a + b \geq 2\sqrt{ab} \)
Montrer que \( (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \)
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📝Exercice 9 : Raisonnement déductif
Montrer que :
Soient \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R} \); Montrer que : \((x^2 + y^2 = 2xy) \Rightarrow (x = y)\)
Soient \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R} \); Montrer que : \((1 + xy – x – y = 0) \Rightarrow (y = 1 \text{ ou } x = 1)\)
Montrer que : Si \( m \) et \( n \) sont deux entiers naturels impairs alors \( m + n \) est pair.
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📝Exercice 10 : Raisonnement par équivalence
Montrer les équivalences suivantes :
Soit \( x \in \mathbb{R} \); Montrer que :
\[ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \leq \frac{3}{2} \]
Soient \( x \) et \( y \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ \sqrt{x + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \iff x = 0 \text{ ou } y = 0 \]
Soient \( a \) et \( b \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ (a + b = 0) \iff (a = 0 \text{ et } b = 0) \]
Soient \( x \) et \( y \) deux réels positifs. Montrer que :
\[ (x + y + 13 = 4\sqrt{x} + 6\sqrt{y}) \iff (x = 4 \text{ et } y = 9) \]
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📝Exercice 11 : Équivalences et inégalités
Montrer les propositions suivantes :
Montrer que :
\( (\forall x \neq -1)(\forall y \neq -1) : \frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \iff x = y \)
Montrer, pour tout \( x \) de \( \mathbb{R}^+ \), que :
\( (\sqrt{2x+2} = 1 + \sqrt{x}) \iff (x = 1) \)
Montrer, pour tout \( x \) de \( [1; +\infty[ \), que :
\( \frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2} \)
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📝Exercice 12 : Équivalences avec racines et valeur absolue
Montrer les équivalences suivantes :
Soit \( x \) un réel. Montrer que :
\[ \frac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \iff x = \sqrt{3} \text{ ou } x = -\sqrt{3} \]
Montrer que pour tout \( x \) de \( \mathbb{R} \) :
\[ |x – 1| < \frac{1}{2} \iff \frac{2}{5} < \frac{1}{x+1} < \frac{2}{3} \]
Soient \( a \in [1; +\infty[ \) et \( b \in [4; +\infty[ \). Montrer que :
\[ \sqrt{a – 1} + 2\sqrt{b – 4} = \frac{a+b}{2} \iff a = 2 \text{ et } b = 8 \]
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📝Exercice 13 : Disjonction des cas
Montrer les propositions suivantes en utilisant la disjonction des cas :
Soit \( n \in \mathbb{N} \); Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l’entier \( n^2 + n + 1 \) est impair.
Soit \( n \in \mathbb{N} \); Montrer que \( n(n+1)(n+2) \) est un multiple de 3.
Montrer que : \( (\forall x \in \mathbb{R}) ; \sqrt{x^2 + 1} – x > 0 \)
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation : \( (E_1) : x^2 – |x – 1| – 1 = 0 \)
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation : \( (E_2) : |x + 1| – 3|x – 2| + 1 = 0 \)
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📝Exercice 14 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation suivante :
\[ |x-1| + 2x – 3 \geq 0 \]
Déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation :
\( |x-1| + 2x – 3 \geq 0 \)
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📝Exercice 15 : Raisonnement par contraposée
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par contraposée :
\( (y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 – 8 \neq 0) \)
\( (x \neq 0) \Rightarrow \left(\sqrt{x+1} \neq 1 + \frac{x}{2}\right) \)
Si \( n^2 \) est pair alors \( n \) est pair (\( n \in \mathbb{N} \))
\( (x \neq y) \Rightarrow (x^2 – 4x \neq y^2 – 4y) \) avec \( x, y \in ]2; +\infty[ \)
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📝Exercice 16 : Raisonnement par contraposée
Montrer les implications suivantes en utilisant le raisonnement par contraposée :
\( (\forall a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R}) : a + b > 1 \implies \left(a > \dfrac{1}{2} \text{ ou } b > \dfrac{1}{2}\right) \)
\( (\forall x > 1)(\forall y > 1) : x \neq y \implies \dfrac{x}{1 + x^2} \neq \dfrac{y}{1 + y^2} \)
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🔍Exercice 17 : Raisonnement par contre-exemple
Montrer que les propositions suivantes sont fausses en utilisant un contre-exemple :
\( P_1 : \forall x \in \mathbb{R} : x + 1 = 2 \)
\( P_2 : \forall x \in \mathbb{R}^* : x + \dfrac{1}{x} \geq 2 \)
\( P_3 : (\forall a \in \mathbb{R}^+)(\forall b \in \mathbb{R}^+) : \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
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📝Exercice 18 : Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
\( (\forall x \in \mathbb{R} – \{\frac{2}{3}\}) : \dfrac{4x+1}{3x-2} \neq \dfrac{4}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : \dfrac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N} \)
\( (\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2 + 1} < 0 \)
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📝Exercice 19 : Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
Montrer que \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \) ( \( \sqrt{2} \) n’est pas un nombre rationnel).
Soient \( x, y, z \in \mathbb{R}_+^* \) tels que \( x + y + z < \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \) et \( xyz > 1 \).
Montrer que \( x \neq 1 \), \( y \neq 1 \) et \( z \neq 1 \).
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📝
Exercice 20: Raisonnement par l’absurde
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par l’absurde :
\( (\forall x \in \mathbb{R} – \{\frac{2}{3}\}) : \dfrac{4x+1}{3x-2} \neq \dfrac{4}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : \dfrac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N} \)
\( (\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2 + 1} < 0 \)
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📝Exercice 21 : Raisonnement par récurrence
Montrer les propositions suivantes en utilisant le raisonnement par récurrence :
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 5^n – 3^n \) est divisible par 2.
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} – 1 \)
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📝Exercice 22 : Raisonnement par récurrence
Montrer par récurrence les propositions suivantes :
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 7^n – 2^n \) est divisible par 5
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^n = \dfrac{4^{n+1} – 1}{3} \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[ \dfrac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)
\( (\forall n \in \mathbb{N}) : 2^n \geq n \)
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📝Exercice 23 :
Effectuer les tâches suivantes :
Développer le produit : \( (n + 2)(2n + 3) \)
Montrer par récurrence que :
\( (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
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Notions de logique – exercices corrigés 1Bac