Logique mathématique exercices corrigés
NOTIONS DE LOGIQUE
Premier Bac Sciences Expérimentales
Propositions & Fonction propositionnelle
1) Qu’est-ce qu’une proposition ?
En logique mathématique, une proposition est une phrase ou un énoncé qui possède une valeur de vérité : elle est soit vraie (V ou 1), soit fausse (F ou 0), mais pas les deux à la fois. On ne peut pas hésiter entre vrai et faux ; la réponse est unique.
📌 Exemple :
• P : « -2 ∈ ℕ » → Fausse (car -2 n’est pas un entier naturel)
• Q : « ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » → Vraie (un carré est toujours positif ou nul)
• R : « Il fait beau aujourd’hui » → Pas une proposition mathématique (dépend du contexte)
2) Fonction propositionnelle
Une fonction propositionnelle (ou prédicat) est une expression qui contient une ou plusieurs variables. Elle n’a pas de valeur de vérité fixe tant qu’on n’a pas remplacé les variables par des valeurs précises. Après substitution, on obtient une véritable proposition (vraie ou fausse).
📌 Exemple :
Soit la fonction propositionnelle : T(x) : « x² – 1 = 0 » avec x ∈ ℝ.
• Pour x = 1 : 1² – 1 = 0 → Vraie
• Pour x = -1 : (-1)² – 1 = 0 → Vraie
• Pour x = 2 : 4 – 1 = 3 ≠ 0 → Fausse
→ T(x) devient une proposition vraie ou fausse selon la valeur de x.
Opérations sur les propositions
1) Négation (¬P ou \(\overline{P}\))
La négation d’une proposition P est la proposition notée ¬P (ou \(\overline{P}\)) qui est vraie lorsque P est fausse, et fausse lorsque P est vraie. C’est l’opération logique du « non ».
2) Conjonction (P ∧ Q) : « P et Q »
La conjonction de deux propositions P et Q est vraie si et seulement si P est vraie ET Q est vraie. Dans tous les autres cas, elle est fausse.
3) Disjonction (P ∨ Q) : « P ou Q »
La disjonction de deux propositions P et Q est fausse uniquement lorsque P et Q sont toutes les deux fausses. Dès qu’au moins une des deux est vraie, la disjonction est vraie (c’est le « ou » inclusif).
📌 Exemple :
Soit P : « 4 – 1 = 3 » (vraie) et Q : « 6 ≤ 0 » (fausse).
• P ∧ Q (4-1=3 et 6≤0) → Fausse (car Q est fausse)
• P ∨ Q (4-1=3 ou 6≤0) → Vraie (car P est vraie)
• ¬P (non(4-1=3)) → Fausse (car P vraie)
4) Lois de Morgan
Ces lois permettent d’exprimer la négation d’une conjonction ou d’une disjonction :
① \(\overline{P \land Q} \equiv \overline{P} \lor \overline{Q}\) ② \(\overline{P \lor Q} \equiv \overline{P} \land \overline{Q}\)
Implication et équivalence
1) Implication (P ⇒ Q) : « Si P alors Q »
L’implication P ⇒ Q est une proposition qui est fausse uniquement dans le cas où P est vraie et Q est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie. Cela signifie que « P implique Q » garantit que dès que P est vrai, Q doit l’être aussi.
📌 Exemple :
Soit P : « π ∈ ℝ » (vraie) et Q : « π = 3,14 » (fausse).
• L’implication P ⇒ Q : « Si π ∈ ℝ alors π = 3,14 » → Fausse (car P vrai, Q faux)
• Contraposée (\(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\)) : « Si π ≠ 3,14 alors π ∉ ℝ » → Vraie (équivalente à P⇒Q)
• Réciproque (Q ⇒ P) : « Si π = 3,14 alors π ∈ ℝ » → Vraie
2) Équivalence (P ⇔ Q) : « P si et seulement si Q »
L’équivalence P ⇔ Q est vraie si et seulement si P et Q ont la même valeur de vérité (toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses). C’est la conjonction de l’implication directe et de sa réciproque : (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
📌 Exemple :
Soit x ∈ ℝ. On a l’équivalence :
(x² = 2x) ⇔ (x = 0 ou x = 2)
Car : si x² = 2x alors x² – 2x = 0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 ou x=2 (directe)
et réciproquement, si x=0 ou x=2 alors x²=2x (vérification immédiate).
Quantificateurs
1) Quantificateur universel (∀) : « Pour tout »
La proposition ∀x ∈ E, P(x) signifie que tous les éléments de l’ensemble E vérifient la propriété P(x). Elle est vraie si P(x) est vrai pour chaque x de E ; elle est fausse dès qu’on trouve au moins un contre-exemple.
2) Quantificateur existentiel (∃) : « Il existe au moins un »
La proposition ∃x ∈ E, P(x) signifie qu’il existe au moins un élément x dans E pour lequel P(x) est vraie. La proposition ∃! x ∈ E, P(x) signifie « il existe un unique » élément vérifiant P(x).
📌 Exemple :
P : « ∀x ∈ ℝ, x² ≥ x » → Fausse (contre-exemple : x = 1/2 donne 1/4 < 1/2)
Q : « ∃x ∈ ℝ, 3x + 6 = 0 » → Vraie (x = -2 est solution)
R : « ∃! x ∈ ℝ, x² – 4 = 0 » → Fausse (car deux solutions : 2 et -2)
3) Négation des quantificateurs
① \(\overline{\forall x \in E, P(x)} \equiv \exists x \in E, \overline{P(x)}\) ② \(\overline{\exists x \in E, P(x)} \equiv \forall x \in E, \overline{P(x)}\)
La négation d’un « pour tout » est un « il existe… ne vérifie pas », et la négation d’un « il existe » est un « pour tout… ne vérifie pas ».
Les différents types de raisonnement
1) Raisonnement déductif
On utilise la règle du modus ponens : si P est vraie et P ⇒ Q est vraie, alors Q est vraie. C’est le raisonnement logique de base.
2) Raisonnement par contraposition
Pour montrer une implication P ⇒ Q, on montre sa contraposée \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\). Les deux sont logiquement équivalentes.
Par contraposée : supposons n impair → n = 2k+1 → n² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 impair. Donc si n² est pair, n est pair.
3) Raisonnement par l’absurde
On suppose que la proposition à démontrer est fausse, et on en déduit une contradiction (une proposition toujours fausse). L’hypothèse de départ est donc impossible, la proposition est vraie.
Supposons √2 = p/q (fraction irréductible) → 2q² = p² → p pair → p=2k → 2q²=4k² → q²=2k² → q pair → contradiction car p et q auraient un facteur commun 2.
4) Raisonnement par disjonction des cas
On sépare la situation en différents cas qui couvrent toutes les possibilités, et on vérifie la propriété dans chaque cas séparément.
Cas 1 : x≥1 → |x-1| = x-1 → équation x² – x = 0 → x=1 (valide)
Cas 2 : x<1 → |x-1| = -x+1 → équation x² + x – 2 = 0 → x=1 (hors cas) ou x=-2 (valide).
5) Raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :
• Initialisation : on vérifie P(n₀) vraie.
• Hérédité : on suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence) et on démontre P(n+1).
• n=1 : 1 = 1×2/2 → OK
• Hérédité : 1+2+…+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2.
📌 À retenir
La logique mathématique est le langage rigoureux des mathématiques. La maîtrise des connecteurs (¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔), des quantificateurs (∀, ∃) et des différents raisonnements (contraposition, absurde, disjonction, récurrence) est indispensable pour construire des démonstrations solides et sans faille.
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