L’ordre dans IR -Cours

L’ordre dans IR -Cours

Exercices corrigés
Évaluations corrigés
Cours

L’Ordre dans IR

I • Ordre et opérations

1. Comparaison de deux nombres

Définition

Soient a et b deux nombres réels. Comparer a et b revient à étudier le signe de \((a – b)\). On dit que :

  • a est inférieur ou égal à b (noté \(a \leq b\)) si et seulement si \(a – b \leq 0\) (\((a – b) \in \mathbb{R}^-\))
  • a est strictement inférieur à b (noté \(a < b\)) si et seulement si \(a – b < 0\) (\((a – b) \in \mathbb{R}^-_*\))

Propriétés fondamentales

Soient a, b, c et d des nombres réels :

  1. Si \(a \leq b\) alors \(a + c \leq b + c\)
  2. Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a + c \leq b + d\)
  3. Si \(a \leq b\) et \(c > 0\) alors \(ac \leq bc\)
  4. Si \(a \leq b\) et \(c < 0\) alors \(ac \geq bc\)

Propriétés pour les réels positifs

Soient a, b, c et d des nombres réels positifs :

  1. Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(ac \leq bd\)
  2. Si \(a \leq b\) alors \(a^2 \leq b^2\) et \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\)
  3. Si \(a \leq b\) alors \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)

Remarque pour les réels négatifs

Soient a, b des nombres réels négatifs :

  1. Si \(a \leq b\) alors \(a^2 \geq b^2\)
  2. Si \(a \leq b\) alors \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)
 

2. Encadrement

Définition

Soit \(x\) un nombre réel. Encadrer \(x\) revient à trouver deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que :

  • \(a \leq x \leq b\)
  • ou \(a < x \leq b\)
  • ou \(a \leq x < b\)
  • ou \(a < x < b\)

Le nombre \(b – a\) est appelé amplitude de l’encadrement.

Propriétés des encadrements

Soient \(a, b, c, d\) des nombres réels :

  1. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) alors \(a + c \leq x + y \leq b + d\)
  2. Si \(a \leq x \leq b\) alors \(-b \leq -x \leq -a\)
  3. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) alors \(a – d \leq x – y \leq b – c\)

Propriétés pour les réels positifs

Soient \(a, b, c, d\) des nombres réels positifs :

  1. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) alors \(ac \leq xy \leq bd\)
  2. Si \(a \leq x \leq b\) et \(ab \neq 0\) alors \(\frac{1}{b} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a}\)
 

 II • Les intervalles

1. Intervalles bornés

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) :

EncadrementIntervalleReprésentation
\(a \leq x \leq b\)\([a, b]\)Segment fermé
\(a < x \leq b\)\(]a, b]\)Segment semi-ouvert à gauche
\(a \leq x < b\)\([a, b[\)Segment semi-ouvert à droite
\(a < x < b\)\(]a, b[\)Segment ouvert

Définitions complémentaires

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a \leq b\) :

  1. Le centre de l’intervalle : \(c = \frac{a + b}{2}\)
  2. Le rayon de l’intervalle : \(r = \frac{b – a}{2}\)

Exemple

Soit \(I = [-5, 3]\) :

  1. Amplitude : \(3 – (-5) = 8\)
  2. Centre : \(\frac{3 + (-5)}{2} = -1\)
  3. Rayon : \(\frac{3 – (-5)}{2} = 4\)

2. Intervalles non bornés

Soit \(a\) un nombre réel :

InégalitéIntervalleReprésentation
\(x \leq a\)\(]-\infty, a]\)Demi-droite fermée
\(x < a\)\(]-\infty, a[\)Demi-droite ouverte
\(a \leq x\)\([a, +\infty[\)Demi-droite fermée
\(a < x\)\(]a, +\infty[\)Demi-droite ouverte

Remarque

  • \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\)
  • \(\mathbb{R}^+_* = ]0, +\infty[\)
  • \(\mathbb{R}^- = ]-\infty, 0]\)
  • \(\mathbb{R}^-_* = ]-\infty, 0[\)
  • \(\mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[\)

3. Intersection et réunion de deux intervalles

Définition

Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles :

  1. L’intersection \(I \cap J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) et \(J\)
  2. La réunion \(I \cup J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) ou \(J\)

Exemples

  1. Si \(I = [-2, 5[\) et \(J = [-3, 3[\) alors :
    • \(I \cap J = [-2, 3[\)
    • \(I \cup J = [-3, 5[\)
  2. Si \(I = [1, 4[\) et \(J = [-2, 0[\) alors :
    • \(I \cap J = \emptyset\)
    • \(I \cup J = [-2, 0[ \cup [1, 4[\)

 III • Valeur absolue

Définition

Soit \(x\) un nombre réel et \(M\) le point d’abscisse \(x\) sur un axe gradué. La valeur absolue de \(x\) est la distance \(OM\), notée \(|x|\) :

  • Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\)
  • Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\)

Exemples

  • \(|-3| = 3\)
  • \(|2 – \sqrt{3}| = 2 – \sqrt{3}\) (car \(2 > \sqrt{3}\))
  • \(|3 – \sqrt{11}| = \sqrt{11} – 3\) (car \(3 < \sqrt{11}\))

Propriétés

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels :

  • \(|x| \geq 0\)
  • \(|-x| = |x|\)
  • \(\sqrt{x^2} = |x|\)
  • \(|x|^2 = |x^2| = x^2\)
  • \(|xy| = |x|\cdot|y|\)
  • \(\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}\) (pour \(y \neq 0\))

Théorème

Soient \(x\) et \(r\) deux réels avec \(r \geq 0\) :

  1. \(|x| \leq r\) ⇔ \(-r \leq x \leq r\)
  2. \(|x| < r\) ⇔ \(-r < x < r\)
  3. \(|x| > r\) ⇔ \(x > r\) ou \(x < -r\)

 IV • Approximation

1. Valeur approchée

Définition

Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(r \in \mathbb{R}^+_*\). Tout réel \(a\) vérifiant \(|x – a| \leq r\) est appelé valeur approchée de \(x\) à \(r\) près.

Exemple

\(|\sqrt{3} – 1.73| \leq 0.003\), donc 1.73 est une valeur approchée de \(\sqrt{3}\) à \(3 \times 10^{-3}\) près.

2. Approximation par défaut et par excès

Définition

Si \(a \leq x \leq b\) (ou variantes avec inégalités strictes) :

  1. \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \((b – a)\) près par défaut
  2. \(b\) est une valeur approchée de \(x\) à \((b – a)\) près par excès

Exemple

\(2.6457 \leq \sqrt{7} \leq 2.6458\) :

  • \(2.6457\) est une valeur approchée de \(\sqrt{7}\) à \(10^{-4}\) près par défaut
  • \(2.6458\) est une valeur approchée de \(\sqrt{7}\) à \(10^{-4}\) près par excès

3. Approximation décimale

Définition

Soit \(x\) un réel tel que \(p \times 10^{-n} \leq x \leq (p + 1) \times 10^{-n}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\) :

  1. \(p \times 10^{-n}\) est l’approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par défaut
  2. \((p + 1) \times 10^{-n}\) est l’approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par excès

Exemple

\(3.14 \leq \pi \leq 3.15\) donc :

  • \(314 \times 10^{-2}\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut
  • \(315 \times 10^{-2}\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par excès

 

 

L’ordre dans IR -Cours