Puissances 3AC

I. Puissances :

1. Définition et propriétés

Définition  :

$x$ est un nombre réel, $n$ un entier naturel, on a :

• Si $n>1$ alors

$x^{n}=\underbrace{x \times x \times x \times x \times \ldots \times x \times x}_{n \text { facteurs } x}  $

• Si $n=1$ alors $x^{1}=x$;

• Si $n=0$ et $x \neq 0$ alors $x^{0}=1$;

• Si $x \neq 0$ alors $x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$

Exemples : 

$ 5^{6}=5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5=15625, \text { il y a } 6 \text { facteurs de } 5 $

$ 2020^{1}=2020 ;(-0,23)^{0}=1 $

$ 5^{-3}=\frac{1}{5^{3}}=\frac{1}{125}=0,008$

Application :

Calculer: $3^{-3} \quad ;\quad (-0,1)^{4} \quad ; \quad \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \quad ; \quad (\sqrt{5})^{4} \quad ; \quad (-\sqrt{6})^{-5}$

Correction :

$ (3)^{-3}=\frac{1}{(3)^{3}}=\frac{1}{27} $

$(-0,1)^{4}=\frac{1}{10^{4}}=(-0,1) \times(-0,1) \times(-0,1) \times(-0,1)  =0,0001 $

$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{8}{27}}=\frac{27}{8} $

$ (\sqrt{5})^{4}=\frac{1}{(\sqrt{4})^{4}}=\frac{1}{\sqrt{4} \times \sqrt{4} \times \sqrt{4} \times \sqrt{4}}=\frac{1}{4 \times 4}=\frac{1}{16}$

$(-\sqrt{6})^{-5}=\frac{1}{(-\sqrt{6})^{5}}=\frac{1}{(-\sqrt{6}) \times(-\sqrt{6}) \times(-\sqrt{6}) \times(-\sqrt{6}) \times(-\sqrt{6})} =\frac{1}{6 \times 6 \times(-\sqrt{6})}=\frac{1}{-36 \sqrt{6}}$

Propriétés :

$a$ et $b$ sont deux nombres réels non nuls, $m$ et $n$ deux entiers relatifs non nuls, on a :

$ a^{n} \times a^{m}=a^{n+m} \quad ; \quad \left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \times m} \quad ; \quad \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{-m}$

$a^{n} \times b^{n}=(a \times b)^{n} \quad ; \quad \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$

Exemples : 

$(3 \sqrt{5})^{2} \times(3 \sqrt{5})^{4}=(3 \sqrt{5})^{2+4}=(3 \sqrt{5})^{6}=\left((3 \sqrt{5})^{2}\right)^{3} =(9 \times 5)^{3}=45^{3}=91125$

$\frac{0,25^{4}}{0,25^{7}}=0,25^{4-7}=0,25^{-3}=\left(\frac{25}{100}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} =\left(\frac{1}{2^{2}}\right)^{-3}=\left(2^{-2}\right)^{-3}=2^{6}=64$

2.Puissance de 10

Propriétés :

$10^{5}=100000 \text { on a } 5 \text { zéros après } 1$

$10^{-9}=0,000000001$ on a $8$ zéros entre $1$ et la virgule.

Exemples : 

$n $ un entier naturel, on a :

$ 10^{n}=1 \underbrace{00 \ldots 0}_{n \text { zéros }} ; 10^{-n}=0, \underbrace{00 \ldots 0}_{n-1 \text { zéros }} 1 $

$ 10^{-n}=0,000 \ldots 001$

II. Écriture scientifique

Définition  :

Soit $A$ un décimal positif, l’écriture ou la notation scientifique du nombre $A$ est : $a \times 10^{n}$ où $a$ est nombre décimal qui vérifie $1 \leq a<10$ et $n$ un nombre entier relatif.

$a$ est appelé mantisse et le nombre entier relatif $n$ est appelé exposant.

Exemples : 

• La distance moyenne Terre-Lune est : $D=384400 \mathrm{~km}$

  L’écriture scientifique de $D$ est : $D=3,844 \times 10^{5}$

• L’écriture scientifique de 0,0000012345 est $1,2345 \times 10^{-6}$