Systèmes de deux équations à deux inconnues -cours
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
Système de deux équations – 1er degré à deux inconnues
Définition : Soient \(a,b,c,d,e,f\) des réels. Un système \((S)\) s’écrit :
Un couple \((x;y)\) qui vérifie les deux équations simultanément est appelé solution du système.
📘 Exemple 1
\[ \left\{ \begin{array}{r} 5.5x + \frac{2}{3}y = 6 \\ -11x + 9y = -10 \end{array} \right. \quad\text{et}\quad \left\{ \begin{array}{r} \sqrt{5}x + 2y = \sqrt{7} \\ -x + y = \frac{-7}{19} \end{array} \right. \]
Exemple 2 : \((S’) \left\{ \begin{array}{r} 5x+2y=4 \\ -2x+y=-7 \end{array} \right.\)
Pour (x=2 et y=-3) : (5(2)+2(-3)=10-6=4) et (-2(2)+(-3)=-4-3=-7) ✔
Donc \((2;-3)\)est solution.
Résolution d’un système
🔁 1) Méthode par substitution
Exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis substituer dans l’autre.
De \(x = 11-2y\) on remplace : \(5(11-2y)+3y=27 \Rightarrow 55-10y+3y=27 \Rightarrow -7y=-28 \Rightarrow y=4\), puis \(x=11-8=3\).
➡ Solution (3;4).
➕ 2) Méthode par combinaison linéaire
Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue, puis additionner membre à membre.
On multiplie l’équation (2) par 2 : \(6x-2y=10\). Puis addition avec (1) : \((x+6x)+(2y-2y)=-3+10 \Rightarrow 7x=7 \Rightarrow x=1\).
Remplaçons : \(3(1)-y=5 \Rightarrow -y=2 \Rightarrow y=-2\). Solution \((1;-2)\).
Résolution graphique d’un système
La technique de résolution d’un système en utilisant la méthode graphique :
Cette méthode consiste à relier chaque équation à une droite, puis on représente chacune des droites dans un même repère orthonormé.
La solution, si elle existe, est donnée par les coordonnées du point d’intersection des droites.
📘 Exemple :
On a
\[
\begin{cases}
x + 4y = -5 \\
-2x – y = -4
\end{cases}
\]
donc
\[
\begin{cases}
y = -\frac{1}{4}x – \frac{5}{4} \\
y = -2x + 4
\end{cases}
\]
Soit \( (D) \) la droite d’équation réduite \( y = -\frac{1}{4}x – \frac{5}{4} \)
Et \( (\Delta) \) la droite d’équation réduite \( y = -2x + 4 \)
On trace les deux droites \( (D) \) et \( (\Delta) \) dans un repère orthonormé \( (O; I; J) \).
Pour \( (\Delta) \) :
Pour \( (D) \) :
Les deux droites \((D)\) et \((\Delta)\) se coupent en un point \(M(3; -2)\)
Donc le couple \((3; -2)\) est la solution de ce système.
Résoudre un problème avec système
📌 Étapes :
- Lire et comprendre
- Choisir les inconnues
- Mettre en système d’équations
- Résoudre le système
- Vérifier et conclure
🏛️ Exemple : Musée
Un musée propose un tarif pour les adultes à 70 DH et un tarif pour les enfants à 45 DH. Lors d’une journée, ce musée a reçu la visite de 205 personnes et la recette totale a été de 12225 DH.
Retrouver le nombre d’adultes et le nombre d’enfants ayant visité le musée lors de cette journée.
Choisir les inconnues :
Soit \( x \) le nombre d’adultes et \( y \) le nombre d’enfants.
Mettre le problème en équation :
205 personnes ont visité le musée donc \( x + y = 205 \)
La recette a été de 12225 DH alors \( 70x + 45y = 12225 \)
Résoudre le système :
\[
\begin{cases}
x + y = 205 \quad (1) \\
70x + 45y = 12225 \quad (2)
\end{cases}
\]
On multiplie les deux membres de l’équation \((1)\) par \(-9\) et ceux de l’équation \((2)\) par \(\frac{1}{5}\)
Et on trouve
\[
\begin{cases}
-9x – 9y = -1845 \\
14x + 9y = 2445
\end{cases}
\]
On ajoute membre à membre les deux équations du système et on trouve \( 5x = 600 \)
Alors \( x = \frac{600}{5} = 120 \)
On remplace \( x \) par \( 120 \) dans l’équation \((1)\) et on trouve
\[
120 + y = 205
\]
Donc \( y = 205 – 120 = 85 \)
Alors le couple \((120; 85)\) est la solution de ce système
Vérifier que le couple trouvé est la solution du problème :
On a \( 120 + 85 = 205 \) et \( 70 \times 120 + 45 \times 85 = 8400 + 3825 = 12225 \)
Donc le couple \((120; 85)\) est la solution du problème
Conclusion
120 adultes et 85 enfants ont visité le musée lors de cette journée.
📌 Récapitulatif – Étapes clés
- Substitution : isoler \(x\) (ou \(y\)) puis remplacer.
- Combinaison : ajuster les coefficients pour éliminer une inconnue par addition.
- Graphique : tracer les deux droites d’équations réduites ; l’intersection donne la solution.
- Problème : toujours définir les inconnues, traduire l’énoncé, puis résoudre le système.
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