Arithmétique dans IN -Cours
1- L’ensemble des nombres entiers naturels N
Définition : Tous les nombres entiers naturels composent un ensemble. On note : \( \mathbb{N} \), et on écrit : \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\cdots\} \)
Vocabulaire et symbole :
- Le nombre 0 est le nombre entier naturel nul.
- Les nombres entiers naturels non nuls composent un ensemble, nous le notons par le symbole : \( \mathbb{N}^* \)
- \( \mathbb{N}^* = \{1,2,\cdots\} \) est l’ensemble des entiers naturels non nuls.
- 7 est un nombre entier naturel, on écrit : \( 7 \in \mathbb{N} \)
- -8 n’est pas un nombre entier naturel, on écrit : \( -8 \notin \mathbb{N} \)
2- Les nombres pairs et impairs
Définition :
- a est un nombre entier naturel pair, s’il existe un entier naturel k tel que : \( a = 2k \)
- a est un nombre entier naturel impair, s’il existe un entier naturel k tel que : \( a = 2k+1 \)
Remarques : Un nombre entier naturel est soit pair soit impair, et on a les résultats suivants :
| \( a \times b \) | a – b | a + b | b | a | Nombres |
|---|---|---|---|---|---|
| pair | pair | pair | pair | pair | |
| impair | pair | pair | impair | impair | Parité des nombres |
| pair | impair | impair | pair | impair | |
| pair | impair | impair | impair | pair |
3- Diviseurs – Multiples d’un nombre :
Définition : a et b deux éléments de \( \mathbb{N} \), on dit que a est un multiple de \( b \), s’il existe un nombre entier naturel n tel que :
\[a = b \times n\]
Exemple : On a : \( 145 = 5 \times 29 \) alors : \( 145 \) est un multiple du nombre 5
Définition : a et b deux éléments de \( \mathbb{N} \), on dit que \( b \) est un diviseur de \( a \), s’il existe un nombre entier naturel n tel que :
\[a = b \times n\]
Exemple : On a : \( 145 = 5 \times 29 \) alors : 5 et 29 sont des diviseurs de 145
Remarques :
- Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
- Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.
4- Critère de la divisibilité :
Propriété : soit \( n \) un nombre entier naturel, \( n \) est divisible par :
- 2 si et seulement si son chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
- 5 si et seulement si son chiffre des unités est : 0 ou 5.
- 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
- Le nombre 4725 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
- Le nombre 4725 est divisible par 3 et 9 car 18 = (4+7+2+5) est un multiple de 3 et de 9.
- Le nombre 1628 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.
- Le nombre 1628 est un multiple de 4 car 28 (ses deux derniers chiffres) est un multiple de 4.
5. Les nombres premiers et la factorisation :
a. Propriétés :
Propriété 1 : Un nombre entier naturel p > 1 est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemple : Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Propriété 2 : Tout nombre entier naturel > 1 s’écrit comme un produit de facteurs premiers.
Exemple : \( 640 = 64 \times 10 = 8^2 \times 2 \times 5 = (2^3)^2 \times 2 \times 5 = 2^7 \times 5 \). Les facteurs premiers sont 2 et 5.
L’écriture \( 2^7 \times 5 \) est appelée la décomposition en facteurs premiers du nombre 640
b. Technique de la décomposition en facteurs premiers :
Exemple : Décomposer le nombre 1344 (méthode non détaillée ici).
6. PGCD – PPCM :
Définition 1 : Pour a, b ∈ ℕ*, le PGCD(a;b) est le plus grand diviseur commun de a et b.
Exemple : PGCD(12;15) = 3 (diviseurs de 12: 1,2,3,4,6,12; de 15: 1,3,5,15).
Définition 2 : Si PGCD(a;b) = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
Exemple : PGCD(8;15) = 1 ⇒ 8 et 15 sont premiers entre eux.
Définition 3 : Le PPCM(a;b) est le plus petit multiple commun de a et b.
Exemple : PPCM(12;8) = 24 (multiples de 12: 0,12,24,…; de 8: 0,8,16,24,…).
Propriété 1 : Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
Propriété 2 : Le PPCM est le produit des facteurs premiers communs et non communs avec le plus grand exposant.
7. Algorithme d’Euclide :
Propriété : L’algorithme d’Euclide (divisions successives) donne le PGCD comme dernier reste non nul.
Exemple : PGCD(1053, 325) = 13 :
Arithmétique dans IN -Cours