Calcul vectoriel dans le plan -évaluations corrigés

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(3pts)$

 Soient $A ; B; C; D$ des points du plan $(P)$

$1)$ Construire les points $M$ et $N$ tels que : $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A C}$ et_ $\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}$

$2)$ Comparer les vecteurs $\overrightarrow{B D}$ et $\overrightarrow{M N}$

Exercice 2：$(5pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme

$M$ et $N$ et $P$ trois points tels que : $\overrightarrow{A M}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{A P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$

$1)$ Montrer que : $\overrightarrow{M N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{B C}$

$2)$ Montrer que $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A P}$

$3)$ Montrer que $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A N}$

Exercice 3：$(4pts)$

Soient $A ; B ; C$ et $M$ quatre points du plan.

Soit $\vec{U}=\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}$ et $\vec{V}=2 \overrightarrow{B A}-6 \overrightarrow{B C}$

$1)$ Montrer que : $\vec{U}=2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}$

$2)$ Montrer que $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont colinéaires.

Exercice 4：$(2pts)$

$A B C$ est un triangle, les points $D$ et $E$ sont tels que :
$\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{C E}=3 \overrightarrow{B A}$

Montrer que le point $C$ est le milieu du segment $[D E]$

Exercice 5：$(6pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme

Soient $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{A D}$ et $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$.

$1)$ Montrer que :

$\overrightarrow{C E}=-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$

$\overrightarrow{C F}=3 \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}$.

$2)$ En déduire que les points $E ; C$ et $F$ sont alignés