Inégalité triangulaire et médiatrice exercices corrigés
Modèle $N°1$
Exercice 1 : $(3 pts)$
Dans chaque cas, dire si le triangle $A B C$ existe ou si les points $A, B$ et $C$ sont alignés en justifiant la réponse.
$1)$ $A B=5 \mathrm{~cm}, A C=7 \mathrm{~cm}$ et $B C=8 \mathrm{~cm}$.
$2)$ $A B=3,8 \mathrm{~cm}, A C=12,1 \mathrm{~cm}$ et $B C=8 \mathrm{~cm}$.
$3)$ $A B=3,8 \mathrm{~cm}, A C=6 \mathrm{~cm}$ et $B C=2,2 \mathrm{~cm}$.
Exercice 2 : $(2 pts)$
Tracer le cercle circonscrit au triangle $A B C$.
Exercice 3 : $(2 pts)$
$1)$ Donner la définition de la hauteur issue de $A$ dans un triangle $A B C$.
$2)$ Que représente la droite $(F D)$ dans $A B C$ ?
$3)$ Que représente la droite $(A D)$ dans $A B C$ ?
$4)$ Construire le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ et tracer ce cercle
Exercice 4 : $(1 pts)$
Sur la figure ci-contre la droite $(d)$ est hauteur issue de $A$ et la droite ( $d^{\prime}$ ) la hauteur issue de $C$ dans $A B C$.
• Construire le point $C$.
$1)$ $A B=5 \mathrm{~cm}, A C=7 \mathrm{~cm}$ et $B C=8 \mathrm{~cm}$.
On ajoute les deux plus petits côtés: $A B+A C=5+7=12 \mathrm{~cm}$ donc $A B+A C>B C$
Donc le triangle $A B C$ existe.
$2)$ $A B=3,8 \mathrm{~cm}, A C=12,1 \mathrm{~cm}$ et $B C=8 \mathrm{~cm}$.
$A B+B C=3,8+8=11,8 $
Donc $A B+B C<A C$
Donc le triangle $A B C$ n’existe pas.
$3)$ $A B=3,8 \mathrm{~cm}, A C=6 \mathrm{~cm}$ et $B C=2,2 \mathrm{~cm}$.
$ A B+B C=3,8+2,2=6 $
Donc $ A B+B C=A C$
Donc les points $A, B$ et $C$ sont alignés et $B \in[A C]$
Pour tracer le cercle circonscrit au triangle $A B C$, il faut déterminer son centre qui est le point d’intersection des médiatrices de côtés.
Il faut donc tracer des arcs de cercle de centres, $A$ (en rouge), $B$ (en vert) puis $C$ (en bleu) ayant le même rayon.
Le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ est le point $O$, point de concours des trois médiatrices des côtés du triangle.
Le cercle circonscrit au triangle $A B C$ est donc le cercle de centre $O$ et de rayon $[O A$ ].
Remarque
On peu se contenter de tracer deux des trois médiatrices.
Ici, la troisième $\left(d_{3}\right)$ permet de contrôler la précision des tracés puisque les trois médiatrices $\left(d_{1}\right),\left(d_{2}\right)$ et $\left(d_{3}\right)$ doivent être concourantes.
$1)$ Donner la définition de la hauteur issue de $A$ dans un triangle $A B C$.
La hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(B C)$.
$2)$ Que représente la droite $(F D)$ dans $A B C$ ?
La droite ( $F D$ ) (en vert) passe par le milieu de $[A B]$ (en orange) et le coupe perpendiculairement.
Donc $(F D)$ est la médiatrice de $[A B]$ .
La droite $(F D)$ (en vert) est perpendiculaire à (( $A B)$ (en orange) et passe par $C$
donc c’est aussi la hauteur issue de $C$.
$3)$ Que représente la droite $(A D)$ dans $A B C$ ?
La droite $(A D)$ passe par $A$ et est perpendiculaire à $(B C)$
Donc $(A D)$ est la hauteur issue de $A$ dans $A B C$.
$4)$ Construire le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ et tracer ce cercle
Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices des côtés.
Il faut donc construire la médiatrice de $[B C]$ et/ou de $[A C]$.
$\square$ La droite $(d)$ est hauteur issue de $A$ donc la droite $(d)$ est perpendiculaire à $(B C)$.
Il faut tracer une droite perpendiculaire(en bleu) à $(d)$ passant par $B$.
$\square$ La droite $\left(d^{\prime}\right)$ la hauteur issue de $C$ dans $A B C$ donc $\left(d^{\prime}\right)$ passe par $C$ et est perpendiculaire à ( $A B$ )
donc le point $C$ appartient à $\left(d^{\prime}\right)$ (et à la droite bleue).
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