Les ensembles de nombres – Cours
Les ensembles de nombres –
1) Ensemble de nombres
a) Entiers naturels (ℕ)
\( \mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; … ; n ; …\} \)
b) Entiers relatifs (ℤ)
\( \mathbb{Z} = \{… ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … \} \)
\( \mathbb{Z}^{*} = \mathbb{Z} \setminus \{0\} \) (ℤ privé de 0)
c) Nombres décimaux (𝔻)
Nombres « à virgule » :
\( \mathbb{D} = \left\{ a \times 10^{-n} = \frac{a}{10^n} \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\} \)
d) Nombres rationnels (ℚ)
\( \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \right\} \)
e) Nombres réels (ℝ)
Tous les nombres utilisés en Seconde
Relation d’inclusion :
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
Notations : Les ensembles de nombres – Cours
- \( \mathbb{R}^+ \) : réels positifs (avec zéro)
- \( \mathbb{R}^- \) : réels négatifs (avec zéro)
2) Opérations et règles de calcul dans ℝ
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Commutativité | \( a+b = b+a \) |
| Associativité | \( a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c \) |
| Opposé | \( (-a)+a = a+(-a) = 0 \) |
| Soustraction | \( a-b = a+(-b) \) |
| Multiplication | \( a \times b = b \times a = ab \) |
| Inverse | \( a \times \frac{1}{a} = 1 \) (pour \( a \neq 0 \)) |
| Distributivité | \( k(a+b) = ka + kb \) |
| Double distributivité | \( (a+b)(c-d) = ac – ad + bc – bd \) |
3) Racine carrée
Pour \( a \geq 0 \), \( \sqrt{a} \) est le nombre positif tel que :
\( (\sqrt{a})^2 = a \)
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Carré | \( \sqrt{a^2} = a \) (si \( a \geq 0 \)) |
| Produit | \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) |
| Quotient | \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) (pour \( b > 0 \)) |
4) Les Puissances
Pour \( a \in \mathbb{R}^+ \), \( n \in \mathbb{N}^* \) :
\( a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}} \)
Cas particuliers :
- \( a^1 = a \)
- \( a^0 = 1 \) (pour \( a \neq 0 \))
- \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
Exemples avec puissances de 10 :
\( 10^n = 1000\cdots0 \) (n zéros)
\( 10^{-n} = 0,000\cdots01 \) (n chiffres après la virgule)
Propriétés des puissances
| \( a^n \times b^n = (ab)^n \) | \( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \) |
| \( (a^n)^m = a^{nm} \) | \( a^n \times a^m = a^{n+m} \) |
| \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \) |
5) Écriture scientifique
Un nombre décimal s’écrit sous forme scientifique comme :
\( a \times 10^p \) où \( 1 \leq a < 10 \) et \( p \in \mathbb{Z} \)
6) Identités remarquables
| Identité | Formule |
|---|---|
| Carré d’une somme | \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) |
| Carré d’une différence | \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) |
| Différence de carrés | \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \) |
| Cube d’une somme | \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) |
| Cube d’une différence | \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) |
| Différence de cubes | \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| Somme de cubes | \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \) |
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