Les nombres en écriture fractionnaire

I-Une fraction :

1- Définition :

• $a$ et $b$ sont deux nombres décimaux avec  $𝒃 ≠ 𝟎 $ ; $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$.

On dit que $\frac{a}{b}$ est une écriture fractionnaire du quotient a ÷ b.

𝒂 est le numérateur et 𝒃 est le dénominateur .

• Si 𝒂 et 𝒃 sont deux entiers naturels avec 𝒃 ≠ 𝟎 ; on dit que $\frac{a}{b}$  est une fraction.

Exemples :

$\frac{11}{2} ; \frac{3}{7} ; \frac{9}{2}$ sont des fractions $\frac{2,5}{3}$ et $\frac{1,7}{5,9}$ sont des écritures fractionnaires

Remarques :

Tous les entiers sont des fractions: Par exemple : $3$ est une fraction, car : $3=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\cdots$

Tous les décimaux sont des fractions : Par exemple: 4,5 et 0,241 sont des fractions, car : $4,5=\frac{45}{10} \text { et } 0,241=\frac{241}{1000}$

II-Egalité de fractions :

Propriété :

Si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction égale. On considère trois nombres décimaux 𝐤, 𝐚 et 𝐛 avec 𝐛 ≠ 𝟎 et 𝐤 ≠ 𝟎 :

$\frac{a}{b}=\frac{a \times k}{b \times k}=\frac{a \div k}{b \div k}$

Exemples :

$\frac{10}{35}=\frac{5 \times 2}{5 \times 7}=\frac{2}{7}$

$\frac{15}{9}=\frac{3 \times 5}{3 \times 3}=\frac{5}{3}$

$\frac{24}{16}=\frac{24 \div 8}{16 \div 8}=\frac{3}{2}$

$\frac{128}{132}=\frac{128 \div 4}{132 \div 4}=\frac{32}{33}$

Remarque : 

► Simplifier une fraction c’est l’écrire avec de plus petits numérateur et dénominateur entiers possibles. On dit Alors qu’elle est irréductible.

Dans les exemples ci-dessus: $\frac{2}{7}, \frac{5}{3}, \frac{1}{9}$ et $\frac{32}{33}$ sont des fractions irréductibles.

Ramener le dénominateur décimal à un dénominateur entier:

Règle 1 :
Pour rendre le dénominateur décimal d’une écriture fractionnaire à un dénominateur entier, on élimine la virgule en multipliant le numérateur et le dénominateur par $10, 100, 1000…$

Exemples :

$\frac{3}{0,75}=\frac{3 \times 100}{0,75 \times 100}=\frac{300}{75}$

$\frac{0,61}{2,5}=\frac{0,61 \times 10}{2,5 \times 10}=\frac{6,1}{25}$

Remarques:

►Lorsqu’on multiplie un nombre décimal  par $10, 100, 1000,…$ on déplace la virgule de $1 ; 2 ; 3 …$ rangs vers la droite .

         Exemples :  $28,76 ×10 =  287,6$      ;     $ 5,12×100=512$

►Lorsque les chiffres décimaux ne sont pas en assez grand nombre, on se sert de zéros.

 Exemples :   $7,5 ×100 =750$       ;     $7,5 × 1 000 =  7500$

III- Comparaison de deux fractions :

1- Les deux fractions ont le même numérateur :

Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le dénominateur le plus petit.

Exemples :

$\frac{14}{8}<\frac{14}{3} \quad ; \quad \frac{1}{6}>\frac{1}{15}$

2- Les deux fractions ont le même dénominateur :

Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemples :

$\frac{19}{7}>\frac{17}{7} \quad ; \quad \frac{21}{5}<\frac{94}{5}$

3- Comparer une fraction par rapport à $1$ :

– Une fraction, dont le numérateur est plus petit que le dénominateur, est plus petite que $1$

Exemple : 

$\frac{\mathbf{5 1}}{\mathbf{5 3}}<1$

– Une fraction, dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, est plus grande que 1.

Exemple : 

$\frac{2019}{2018}>1$

IV- Addition et soustraction de deux fractions

1- Additionner (ou Soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur :

Règle 2 :

Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur :

• on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs.
• on conserve leur dénominateur commun.

Autrement écrit : $\quad \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \quad et \quad \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$    

Exemples : 

$\frac{11}{5}+\frac{7}{5}=\frac{11+7}{5}=\frac{18}{5}$

$\frac{27}{9}-\frac{19}{9}=\frac{27-19}{9}=\frac{8}{9}$

Règle 3 : 

On réduit les fractions au même dénominateur puis on ajoute ou on soustrait les numérateurs obtenus en appliquant la règle 1.

Exemples : 

$ \frac{5}{7}+\frac{11}{21}=\frac{15}{21}+\frac{11}{21}=\frac{15+11}{21}=\frac{26}{21} $

$\frac{9}{12}+\frac{7}{8}=\frac{18}{24}+\frac{21}{24}=\frac{18+21}{24}=\frac{39}{24}$

$\frac{13}{3}-\frac{7}{9}=\frac{39}{9}-\frac{7}{9}=\frac{39-7}{9}=\frac{32}{9} $

$\frac{12}{11}-\frac{3}{6}=\frac{72}{66}-\frac{33}{66}=\frac{39}{66}$

IV-Multiplication et division de deux fractions :

1-Multiplication de deux fractions :

Règle 4 : 

Le produit de deux fractions est la fraction dont :

le numérateur est le produit des deux numérateurs des deux facteurs.

le dénominateur est le produit des deux dénominateurs de deux facteurs.

Autrement écrit :  $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d} $

Exemples : 

$\frac{11}{5} \times \frac{7}{2}=\frac{11 \times 7}{5 \times 2}=\frac{77}{10}$

$\frac{4}{3} \times \frac{8}{3}=\frac{4 \times 8}{3 \times 3}=\frac{32}{9}$

$\frac{3}{10} \times 7=\frac{3}{10} \times \frac{7}{1}=\frac{3 \times 7}{10 \times 1}=\frac{21}{10}$

2- Division de deux fractions :

Définition :

L’inverse de la fraction $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ est la fraction $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$.

Exemples : 

L’inverse de $\frac{5}{2}$ est la fraction $\frac{2}{5}$

L’inverse de 7 est la fraction $\frac{1}{7}$

Règle 4 : 

La division de deux fractions c’est la multiplication de la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Autrement dit : $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{a \times d}{b \times c}$

$\rightarrow$ La règle permet donc de transformer une division de fraction en une multiplication.

Exemples : 

$\frac{1}{2}: \frac{3}{4}=\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}=\frac{1 \times 4}{2 \times 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\frac{5}{2} \div \frac{6}{7}=\frac{5}{2} \times \frac{7}{6}=\frac{5 \times 7}{2 \times 6}=\frac{35}{12}$