Opérations sur les nombres rationnels : cours et exercices corrigés

• Addition et soustraction de fractions (simples)

Exercice 1:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

A. $\frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{\dots \dots . .}{\dots \dots .}$

B. $\frac{1}{100} + \frac{2}{100} =$

C. $\frac{7}{8} + \frac{7, 4}{8} = \frac{\dots \dots . .}{\dots \dots .}$

D. $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{\dots \dots . .}{\dots \dots .}$

E. $\frac{4}{100} + \frac{40}{100} = \frac{\dots \dots . .}{\dots \dots .}$

Correction de l’exercice 1

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

A. $\frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{11}{10}$

B. $\frac{1}{100} + \frac{2}{100} = \frac{3}{100}$

C. $\frac{7}{8} + \frac{7, 4}{8} = \frac{14, 4}{8}$

D. $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

E. $\frac{4}{100} + \frac{40}{100} = \frac{44}{100}$

Exercice 2:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{5}{2} \times \frac{10}{10} + \frac{17}{20}$

$A = \frac{50 + 17}{20}$

$A = \frac{67}{20}$

$B = \frac{4}{5} \frac{\times \dots \dots}{\times \dots \dots} + \frac{3}{10}$

$B = \frac{\dots \dots + 3}{10}$

$B = \frac{\dots \dots .}{10}$

$C = \frac{3}{2} \frac{\times \dots \dots .}{\times \dots \dots .} + \frac{7}{4}$

$C = \frac{\dots \dots + 7}{4}$

$C = \frac{\dots \dots .}{4}$

$D = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} \times \dots \dots .$

$D = \frac{5 + \dots \dots}{6}$

$D = \frac{\dots . .}{6}$

Correction de l’exercice 2

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{5}{2} \times \frac{10}{10} + \frac{17}{20}$

$A = \frac{50 + 17}{20}$

$A = \frac{67}{20}$

$B = \frac{4}{5} \times \frac{2}{2} + \frac{3}{10}$

$B = \frac{8 + 3}{10}$

$B = \frac{11}{10}$

$C = \frac{3}{2} \times \frac{2}{2} + \frac{7}{4}$

$C = \frac{6 + 7}{4}$

$C = \frac{13}{4}$

$D = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{2}$

$D = \frac{5 + 4}{6}$

$D = \frac{9}{6}$

Exercice 3:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{2} + \frac{5}{6}$

$C = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$

$D = 2 + \frac{1}{3}$

$E = 4 + \frac{7}{5}$

Correction de l’exercice 3

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{2 + 1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{2} + \frac{5}{6}$

$B = \frac{1}{2} \times \frac{3}{3} + \frac{5}{6}$

$B = \frac{3 + 5}{6}$

$B = \frac{8}{6}$

$C = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$

$C = \frac{1}{2} \times \frac{5}{5} + \frac{3}{10}$

$C = \frac{5 + 3}{10}$

$C = \frac{8}{10}$

$G = 2 + \frac{1}{3}$

$G = 2 \times \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$G = \frac{6 + 1}{3}$

$G = \frac{7}{3}$

$I = 4 + \frac{7}{5}$

$I = 4 \times \frac{5}{5} + \frac{7}{5}$

$I = \frac{20 + 7}{5}$

$I = \frac{27}{5}$

Exercice 4:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

$B = \frac{7}{2} - \frac{5}{4}$

$C = \frac{5}{9} - \frac{1}{3}$

$D = 7 - \frac{20}{3}$

$E = \frac{27}{4} - 6$

$F = \frac{17}{7} - 2$

Correction de l’exercice 4

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

$A = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} - \frac{1}{6}$

$A = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$A = \frac{2}{6}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{7}{2} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{7 \times 2}{2 \times 2} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{14}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{9}{4}$

$C = \frac{5}{9} - \frac{1}{3}$

$C = \frac{5}{9} - \frac{1 \times 3}{3 \times 3}$

$C = \frac{5}{9} - \frac{3}{9}$

$C = \frac{2}{9}$

$D = 7 - \frac{20}{3}$

$D = 7 \times \frac{3}{3} - \frac{20}{3}$

$D = \frac{21}{3} - \frac{20}{3}$

$D = \frac{1}{3}$

$E = \frac{27}{4} - 6 \times \frac{4}{4}$

$E = \frac{27}{4} - \frac{24}{4}$

$E = \frac{3}{4}$

$F = \frac{17}{7} - 2$

$F = \frac{17}{7} - 2 \times \frac{7}{7}$

$F = \frac{17}{7} - \frac{14}{7}$

$F = \frac{3}{7}$

• Addition et soustraction de fractions (Complexes)

Exercice 5:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2}{10} + \frac{65}{100} + \frac{4}{10}$

$B = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{2}$

$C = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} + \frac{19}{12}$

$D = \frac{5}{2} + \frac{11}{18} + \frac{5}{3}$

$E = 1 + \frac{7}{3} - \frac{2}{15} - \frac{4}{5}$

Correction de l’exercice 5

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2 \times 10}{10 \times 10} + \frac{65}{100} + \frac{4 \times 10}{10 \times 10}$

$A = \frac{20 + 65 + 40}{100}$

$A = \frac{125}{100} = \frac{5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{5}{4}$

$B = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{2}$

$B = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{5}{4} + \frac{7 \times 2}{2 \times 2}$

$B = \frac{2 + 5 + 14}{4}$

$B = \frac{21}{4}$

$C = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} + \frac{19}{12}$

$C = \frac{10 \times 4}{3 \times 4} + \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{19}{12}$

$C = \frac{40 + 10 + 19}{12}$

$C = \frac{69}{12}$

$C = \frac{3 \times 23}{3 \times 4}$

$C = \frac{23}{4}$

.
$D = \frac{5}{2} + \frac{11}{18} + \frac{5}{3}$

$D = \frac{5 \times 9}{2 \times 9} + \frac{11}{18} + \frac{5 \times 6}{3 \times 6}$

$D = \frac{45 + 11 + 30}{18}$

$D = \frac{86}{18}$

$D = \frac{2 \times 43}{2 \times 9}$

$D = \frac{43}{9}$

$E = 1 + \frac{7}{3} - \frac{2}{15} - \frac{4}{5}$

$E = \frac{15}{15} + \frac{35}{15} - \frac{2}{15} - \frac{12}{15}$

$E = \frac{15 + 35 - 2 - 12}{15}$

$E = \frac{36}{15}$

$E = \frac{12}{5}$

Exercice 6:

Calculer en respectant les priorités et en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{4}{7} - (\frac{6}{7} - \frac{5}{7}) + \frac{1}{7}$

$B = \frac{19}{4} - [\frac{1}{2} - (\frac{3}{8} - \frac{1}{4})]$

$C = (\frac{7}{12} - \frac{1}{6}) - (\frac{3}{4} - \frac{1}{3})$

$D = \frac{3}{10} - (\frac{97}{100} - 0, 8)$

Correction de l’exercice 6

Calculer en respectant les priorités et en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{4}{7} - (\frac{6}{7} - \frac{5}{7}) + \frac{1}{7}$

$A = \frac{4}{7} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7}$

$A = \frac{4}{7}$

$B = \frac{19}{4} - [\frac{1}{2} - (\frac{3}{8} - \frac{1}{4})]$

$B = \frac{19}{4} - [\frac{1}{2} - (\frac{3}{8} - \frac{1 \times 2}{4 \times 2})]$

$B = \frac{19}{4} - (\frac{1 \times 4}{2 \times 4} - \frac{1}{8})$

$B = \frac{19}{4} - (\frac{4}{8} - \frac{1}{8})$

$B = \frac{19 \times 2}{4 \times 2} - \frac{3}{8}$

$B = \frac{38}{8} - \frac{3}{8}$

$C = (\frac{7}{12} - \frac{1}{6}) - (\frac{3}{4} - \frac{1}{3})$

$C = (\frac{7}{12} - \frac{1 \times 2}{6 \times 2} - [\frac{1}{2} - (\frac{3}{8} - \frac{2}{8})] \times 3$

$C = \frac{5}{12} - \frac{2}{12}) - (\frac{9}{12} - \frac{4}{12})$

$C = 0$

$D = \frac{3}{10} - (\frac{97}{100} - 0, 8)$

$D = \frac{3}{10} - (\frac{97}{100} - \frac{0, 8 \times 100}{1 \times 100})$

$D = \frac{3}{10} - (\frac{97}{100} - \frac{80}{100})$

$D = \frac{3 \times 10}{10 \times 10} - \frac{17}{100}$

• Multiplication de fractions (Simples)

Exercice 7:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$

$B = \frac{12}{7} \times \frac{14}{4}$

$C = 5 \times \frac{3}{20}$

$D = \frac{4}{7} \times \frac{5}{3} \times \frac{9}{8}$

$E = 3 \times \frac{4}{5} \times \frac{11}{9}$

Correction de l’exercice 7

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$

$A = \frac{2 \times 4}{3 \times 5}$

$A = \frac{8}{15}$

$B = \frac{12}{7} \times \frac{14}{4}$

$B = \frac{12 \times 14}{7 \times 4}$

$B = \frac{6 \times 2 \times 7 \times 2}{7 \times 4}$

$B = 6$

$C = 5 \times \frac{3}{20}$

$C = \frac{5 \times 3}{20}$

$C = \frac{5 \times 3}{5 \times 4}$

$C = \frac{3}{4}$

$D = \frac{4}{7} \times \frac{5}{3} \times \frac{9}{8}$

$D = \frac{4 \times 5 \times 9}{7 \times 3 \times 8}$

$D = \frac{4 \times 5 \times 3 \times 3}{7 \times 3 \times 4 \times 2}$

$D = \frac{15}{14}$

$E = 3 \times \frac{4}{5} \times \frac{11}{9}$

$E = \frac{3 \times 4 \times 11}{5 \times 9}$

$E = \frac{3 \times 4 \times 11}{5 \times 3 \times 3}$

$E = \frac{44}{15}$

• Multiplication de fractions (Complexes)

Exercice 8:

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2}{3} \times (\frac{7}{5} + \frac{2}{5})$

$B = (\frac{7}{4} - \frac{3}{4}) \times (\frac{7}{5} + \frac{2}{5})$

$C = \frac{17}{14} - (\frac{3}{2} \times \frac{5}{7})$

$D = (\frac{7}{12} + \frac{1}{6}) \times \frac{3}{2}$

Correction de l’exercice 8

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

$A = \frac{2}{3} \times (\frac{7}{5} + \frac{2}{5})$

$A = \frac{2}{3} \times \frac{9}{5}$

$A = \frac{2}{3} \times \frac{3 \times 3}{5}$

$A = \frac{2 \times 3}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = (\frac{7}{4} - \frac{3}{4}) \times (\frac{7}{5} + \frac{2}{5})$

$B = \frac{4}{4} \times \frac{9}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

.
$C = \frac{17}{14} - (\frac{3}{2} \times \frac{5}{7})$

$C = \frac{17}{14} - (\frac{3 \times 5}{2 \times 7})$

$C = \frac{17}{14} - \frac{15}{14}$

$C = \frac{2}{14}$

$C = \frac{1}{7}$
.

$D = (\frac{7}{12} + \frac{1}{6}) \times \frac{3}{2}$

$D = (\frac{7}{12} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2}) \times \frac{3}{2}$

$D = (\frac{7}{12} + \frac{2}{12}) \times \frac{3}{2}$

$D = \frac{9}{12} \times \frac{3}{2}$

$D = \frac{9}{8}$

Exercice 9:

Sachant que $a = \frac{3}{4}$ et $b = \frac{5}{2}$ , calculer :

$A = 3 a + 2 b$

$B = 4 a b$

$C = (a + b) (b - a)$

$D = \frac{5}{3} a - \frac{1}{6} b$

Correction de l’exercice 9

$A = 3 a + 2 b$

$A = 3 \times \frac{3}{4} + 2 \times \frac{5}{2}$

$A = \frac{9}{4} + \frac{10}{2}$

$A = \frac{9}{4} + \frac{20}{4}$

$A = \frac{29}{4}$

$B = 4 a b$

$B = 4 \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{2}$

$B = \frac{4 \times 3 \times 5}{4 \times 2}$

$B = \frac{15}{2}$
.

$C = (a + b) (b - a)$

$C = (\frac{3}{4} + \frac{5}{2}) (\frac{5}{2} - \frac{3}{4})$

$C = (\frac{3}{4} + \frac{5 \times 2}{2 \times 2}) (\frac{5 \times 2}{2 \times 2} - \frac{3}{4})$

$C = (\frac{3}{4} + \frac{10}{4}) (\frac{10}{4} - \frac{3}{4})$

$C = \frac{13}{4} \times \frac{7}{4}$

$C = \frac{13 \times 7}{4 \times 4}$

$C = \frac{91}{16}$
.

$D = \frac{5}{3} a - \frac{1}{6} b$

$D = \frac{5}{3} \times \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \times \frac{5}{2}$

$D = \frac{5 \times 3}{3 \times 4} - \frac{1 \times 5}{6 \times 2}$

$D = \frac{15}{12} - \frac{5}{12}$

$D = \frac{10}{12}$

$D = \frac{5}{6}$

• Quotient de fractions

Exercice 10:

Calculer :

1) $\frac{6}{7} \div \frac{2}{3}$

2) $\frac{6}{7} \div \frac{3}{4}$

3) $\frac{6}{7} \div \frac{4}{5}$

4) $8 \div \frac{2}{3}$

5) $8 \div \frac{3}{4}$

6) $8 \div \frac{4}{5}$

Correction de l’exercice 10

Calculer :

1) $\frac{6}{7} \div \frac{2}{3} = \frac{6}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{6 \times 3}{7 \times 2} = \frac{18}{14} = \frac{9 \times 2}{7 \times 2} = \frac{9}{7}$

2) $\frac{6}{7} \div \frac{3}{4} = \frac{6}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{6 \times 4}{7 \times 3} = \frac{24}{21} = \frac{8 \times 3}{7 \times 3} = \frac{8}{7}$

3) $\frac{6}{7} \div \frac{4}{5} = \frac{6}{7} \times \frac{5}{4} = \frac{6 \times 5}{7 \times 4} = \frac{30}{28} = \frac{15 \times 2}{14 \times 2} = \frac{15}{14}$

4) $8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

5) $8 \div \frac{3}{4} = 8 \times \frac{4}{3} = \frac{8 \times 4}{3} = \frac{32}{3}$

6) $8 \div \frac{4}{5} = 8 \times \frac{5}{4} = \frac{8 \times 5}{4} = \frac{40}{4} = 10$

Exercice 11:

$A = (\frac{2}{9} \times \frac{1}{2}) \div \frac{6}{11}$

$B = 5 \times (\frac{1}{13} \div \frac{3}{4})$

$C = (\frac{5}{7} + \frac{1}{28}) \div \frac{2}{3}$

Correction de l’exercice 11

$A = (\frac{2}{9} \times \frac{1}{2}) \div \frac{6}{11}$

$A = \frac{2 \times 1}{9 \times 2} \div \frac{6}{11}$

$A = \frac{2}{18} \div \frac{6}{11}$

$A = \frac{2}{18} \times \frac{11}{6}$

$A = \frac{2}{18} \times \frac{11}{2 \times 3}$

$A = \frac{11}{18 \times 3}$

$A = \frac{11}{54}$

.
$B = 5 \times (\frac{1}{13} \div \frac{3}{4})$

$B = 5 \times (\frac{1}{13} \times \frac{4}{3})$

$B = 5 \times \frac{1 \times 4}{13 \times 3}$

$B = 5 \times \frac{4}{39}$

$B = \frac{5 \times 4}{39}$

$B = \frac{20}{39}$

$C = (\frac{5}{7} + \frac{1}{28}) \div \frac{2}{3}$

$C = (\frac{5 \times 4}{7 \times 4} + \frac{1}{28}) \div \frac{2}{3}$

$C = (\frac{20}{28} + \frac{1}{28}) \div \frac{2}{3}$

$C = \frac{20 + 1}{28} \div \frac{2}{3}$

$C = \frac{21}{28} \div \frac{2}{3}$

$C = \frac{7 \times 3}{7 \times 4} \times \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 \times 3}{4 \times 2}$

$C = \frac{9}{8}$

• Problèmes

Exercice 12:

Pour acheter une nouvelle photocopieuse, le collège décide de payer les $\frac{3}{4}$ du prix et les parents d’élèves $\frac{1}{5}$ de ce qui reste. Le foyer avait prévu de participer pour $20 %$ du prix.

Tout cela suffira-t-il pour faire cet achat ?

Correction de l’exercice 12

Le collège paie les $\frac{3}{4}$ du prix. Il reste donc $\frac{1}{4}$ du prix à payer.

Les parents d’élèves versent $\frac{1}{5}$ du reste, soit $\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$

Le foyer verse $20 %$ du prix, soit $\frac{20}{100} = \frac{20}{20 \times 5} = \frac{1}{5}$

$\frac{3}{4} + \frac{1}{20} + \frac{1}{5} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} + \frac{4}{20} = \frac{20}{20} = 1 = 100 %$

Le collège aura suffisamment d’argent pour l’achat de leur photocopieuse.

Exercice 13:

La Sécurité sociale rembourse $55 %$ des frais médicaux et une mutuelle complète ce remboursement par les $\frac{4}{11}$ de ce que rembourse la Sécurité sociale.

1) Quelle fraction des frais médicaux est remboursée par la mutuelle.

2) Finalement, quelle fraction des frais médicaux n’est pas remboursée?

Correction de l’exercice 13

1) On a: $55 % = \frac{55}{100} = \frac{11}{20}$

La mutuelle rembourse seulement le $\frac{4}{11}$ de cette fraction.

Elle rembourse donc : $\frac{11}{20} \times \frac{4}{11} = \frac{4}{20} = \frac{4 \times 1}{4} \times 5 = \frac{1}{5}$ des frais médicaux.

2) La somme de ces deux fractions nous donne la fraction totale des frais remboursés.

Ce qui nous fait : $\frac{1}{5} + \frac{11}{20} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} + \frac{11}{20} = \frac{4}{20} + \frac{11}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{3}{4}$ .

Ainsi, $\frac{3}{4}$ des soins médicaux sont remboursés, et donc $\frac{1}{4}$ est à la charge du patient.

Exercice 14:

Noura décide de dépenser le contenu de sa tirelire pour acheter des cadeaux de Noël.
Elle utilise $\frac{3}{7}$ de sa ” fortune ” pour acheter un cadeau à Hamza et $\frac{4}{9}$ pour Nada.

1) Sans faire les divisions, trouver le cadeau qui coûte le plus cher.

2) Quelle fraction de ses économies reste-t-il à Noura pour un cadeau à son petit frère ?

Correction de l’exercice 14

1) $\frac{3}{7} = \frac{27}{63}$ et $\frac{4}{9} = \frac{28}{63}$

Comme $\frac{28}{63} > \frac{27}{63}$ , alors le cadeau qui coûte le plus cher est celui de Nada.

2) $\frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{27}{63} + \frac{28}{63} = \frac{55}{63}$ , donc il lui reste $\frac{8}{63}$ de sa fortune, pour le cadeau de son frère.

Exercice 15:

Mariem a dégusté $\frac{1}{6}$ des chocolats qu’on lui a offerts. Son petit frère Ali, qui a repéré où elle cache la boîte, a mangé les $\frac{2}{3}$ du reste.

Quelle fraction de la boîte de chocolats reste-t-il après ” l’intervention ” d’Ali ?

Correction de l’exercice 15

Mariem a dégusté $\frac{1}{6}$ des chocolats qu’on lui a offerts.

Il en reste donc $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Ali a mangé les $\frac{2}{3}$ du reste, c’est-à-dire les $\frac{2}{3}$ de $\frac{5}{6}$ , soit $\frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{2 \times 5}{3 \times 2 \times 3} = \frac{5}{9}$

Il reste donc : $1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{9} = \frac{18}{18} - \frac{3}{18} - \frac{10}{18} = \frac{5}{18}$

Il reste les $\frac{5}{18}$ de la boîte de chocolats après ” l’intervention ” d’Ali.

Exercice 16:

La clé USB de Sara est remplie aux deux cinquièmes de sa capacité de stockage qui est de 64 Go. Peut-elle encore stocker ses photos de l’école qui représentent 10 Go?

Correction de l’exercice 16

1) On calcule l’espace rempli dans la clé USB de Sara:

Espace-rempli $=$ capacité-USB $\times \frac{2}{5}$
Espace-rempli $= 64 \times \frac{2}{5}$
Espace-rempli $= \frac{64 \times 2}{5} = \frac{128}{5}$ Go

2) On calcule l’espace libre dans la clé USB de Sara:

Espace-Libre $=$ capacité-USB – Espace-rempli
Espace-Libre $= 64 - \frac{128}{5}$
Espace-Libre $= \frac{64 \times 5}{1 \times 5} - \frac{128}{5}$
Espace-Libre $= \frac{320}{5} - \frac{128}{5}$
Espace-Libre $= \frac{320 - 128}{5}$
Espace-Libre $= \frac{192}{5} = 38, 4 GO$

3) On compare l’espace libre avec la taille des photos que Sara veut stocker :

On 38,4 Go $> 10$ Go donc Sara peut stocker les phtots de l’école dans la clé USB.

Opérations sur les nombres rationnels : cours et exercices corrigés