Addition et soustraction de fractions

Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)   et   \(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}\)

📌 Exemples :

\(\frac{13}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13+4}{3} = \frac{17}{3}\) \(\frac{7}{5} + \frac{9}{5} = \frac{7+9}{5} = \frac{16}{5}\) \(\frac{13}{11} – \frac{5}{11} = \frac{13-5}{11} = \frac{8}{11}\) \(\frac{7}{4} – \frac{3}{4} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents : 1. On les réduit au même dénominateur. 2. On additionne (ou soustrait) les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

📌 Exemples :

\(\frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{5 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6}\) \(\frac{9}{5} – \frac{1}{4} = \frac{9 \times 4}{5 \times 4} – \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{36}{20} – \frac{5}{20} = \frac{31}{20}\)

📌 Remarques importantes :

• Il faut toujours simplifier les fractions avant d’effectuer la somme ou la différence
• Si un dénominateur est multiple de l’autre, on le choisit comme dénominateur commun
• Le résultat final doit être donné sous forme irréductible lorsque c’est possible

📌 Exemples avec simplification :

\(\frac{3}{5} + \frac{4}{15} = \frac{9}{15} + \frac{4}{15} = \frac{13}{15}\) \(\frac{8}{6} + \frac{7}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{11}{3}\) \(\frac{15}{18} – \frac{21}{36} = \frac{5}{6} – \frac{7}{12} = \frac{10}{12} – \frac{7}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)

📌 Calculer :

\(A = \frac{3}{4} + \frac{7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) \(B = \frac{6}{9} + \frac{10}{9} = \frac{16}{9}\) \(C = \frac{4}{5} + \frac{12}{5} = \frac{16}{5}\) \(D = \frac{14}{6} – \frac{7}{6} = \frac{7}{6}\) \(E = \frac{17}{5} – \frac{2}{5} = \frac{15}{5} = 3\) \(F = \frac{13}{2} + \frac{7}{8} = \frac{52}{8} + \frac{7}{8} = \frac{59}{8}\) \(G = \frac{4}{9} – \frac{2}{81} = \frac{36}{81} – \frac{2}{81} = \frac{34}{81}\) \(H = \frac{3}{4} + \frac{6}{9} = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12}\)

Produit et quotient de fractions

Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

📌 Exemples :

\(\frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{4 \times 2}{9 \times 3} = \frac{8}{27}\) \(\frac{11}{9} \times 5 = \frac{11}{9} \times \frac{5}{1} = \frac{11 \times 5}{9 \times 1} = \frac{55}{9}\)

Définition : L’inverse d’une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est la fraction \(\dfrac{b}{a}\). Deux fractions sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.

📌 Exemples :

L’inverse de \(\frac{4}{9}\) est \(\frac{9}{4}\). L’inverse de \(7\) est \(\frac{1}{7}\). \(\frac{2}{9} \times \frac{9}{2} = \frac{2 \times 9}{9 \times 2} = \frac{18}{18} = 1\) → \(\frac{2}{9}\) et \(\frac{9}{2}\) sont inverses. \(\frac{11}{7} \times \frac{7}{11} = \frac{11 \times 7}{7 \times 11} = \frac{77}{77} = 1\) → \(\frac{11}{7}\) et \(\frac{7}{11}\) sont inverses.

Règle : Le quotient de deux fractions est le produit de la première par l’inverse de la deuxième.

\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}\)

📌 Exemples :

\(\frac{2}{5} \div \frac{9}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{2 \times 4}{5 \times 9} = \frac{8}{45}\) \(\frac{3}{4} \div \frac{10}{8} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3 \times 4}{4 \times 5} = \frac{3}{5}\)

📌 Calculer :

\(A = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) \(B = \frac{6}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{6 \times 11}{5 \times 7} = \frac{66}{35}\) \(C = 4 \times \frac{11}{15} = \frac{4 \times 11}{1 \times 15} = \frac{44}{15}\) \(D = \frac{7}{2} \div \frac{5}{3} = \frac{7}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{7 \times 3}{2 \times 5} = \frac{21}{10}\) \(E = \frac{5}{6} \div \frac{6}{5} = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} = \frac{25}{36}\) \(F = 1 \div \frac{7}{8} = 1 \times \frac{8}{7} = \frac{8}{7}\)

Tableau récapitulatif