Opérations sur les nombres rationnels : cours et exercices corrigés

📋Exercice : Questions de cours (Opérations sur les nombres rationnels)

Énoncer la règle pour additionner deux fractions ayant le même dénominateur. Donner la formule générale.

Énoncer la règle pour soustraire deux fractions ayant le même dénominateur. Donner la formule générale.

Décrire la méthode pour additionner ou soustraire deux fractions qui ont des dénominateurs différents.

Énoncer la règle de la multiplication de deux fractions. Donner la formule générale.

Définir l’inverse d’une fraction. Comment reconnaître deux fractions inverses ?

Énoncer la règle de la division de deux fractions. Donner la formule générale.

Pourquoi faut-il simplifier les fractions avant ou après les opérations ? Donner un exemple.

Quelle est la différence entre additionner et multiplier deux fractions ? Donner un exemple illustratif.

Donner un exemple complet de division de deux fractions en détaillant toutes les étapes.

Écrire le tableau récapitulatif des quatre opérations sur les fractions (addition, soustraction, multiplication, division et inverse) avec les formules et un exemple pour chacune.

📝 Correction

1) Addition de fractions (même dénominateur)

Pour additionner deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)

2) Soustraction de fractions (même dénominateur)

Pour soustraire deux fractions ayant le même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

\(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}\)

3) Addition/Soustraction (dénominateurs différents)

Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents :

On les réduit au même dénominateur (en utilisant le PPCM ou un multiple commun).
On additionne ou soustrait les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

Exemple : \(\frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6}\)

4) Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

5) Inverse d’une fraction

L’inverse d’une fraction \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a \neq 0\)) est la fraction \(\dfrac{b}{a}\).

Deux fractions sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.

Exemple : L’inverse de \(\frac{4}{9}\) est \(\frac{9}{4}\) car \(\frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = 1\).

6) Division de fractions

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième.

\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}\)

7) Simplification des fractions

Il faut simplifier les fractions avant ou après les opérations pour :

Faciliter les calculs en travaillant avec des nombres plus petits.
Donner le résultat final sous forme irréductible.

Exemple : \(\frac{8}{12} + \frac{7}{3} = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3\)
(On a simplifié \(\frac{8}{12}\) en \(\frac{2}{3}\) avant d’ajouter).

8) Différence entre addition et multiplication

Addition : On réduit au même dénominateur puis on additionne les numérateurs.

Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple avec \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{4}\) :

Addition : \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\)

Multiplication : \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}\)

9) Exemple complet de division

Calculer : \(\frac{2}{5} \div \frac{9}{4}\)

Étape 1 : Identifier l’inverse de la deuxième fraction.

L’inverse de \(\frac{9}{4}\) est \(\frac{4}{9}\).

Étape 2 : Remplacer la division par une multiplication par l’inverse.

\(\frac{2}{5} \div \frac{9}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{9}\)

Étape 3 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs.

\(\frac{2 \times 4}{5 \times 9} = \frac{8}{45}\)

Résultat : \(\frac{8}{45}\) (déjà irréductible)

10) Tableau récapitulatif

Opération	Formule	Exemple
Addition (même dénominateur)	\(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\)	\(\frac{13}{3} + \frac{4}{3} = \frac{17}{3}\)
Soustraction (même dénominateur)	\(\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\)	\(\frac{13}{11} – \frac{5}{11} = \frac{8}{11}\)
Addition (différents dénominateurs)	Réduire au même dénominateur	\(\frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{17}{6}\)
Multiplication	\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)	\(\frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}\)
Division	\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\)	\(\frac{2}{5} \div \frac{9}{4} = \frac{8}{45}\)
Inverse	Inverse de \(\frac{a}{b}\) est \(\frac{b}{a}\)	Inverse de \(\frac{4}{9}\) est \(\frac{9}{4}\)

🔢Exercice 1 : Addition de fractions (même dénominateur)

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

1) \(\dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} =\)

2) \(\dfrac{1}{100} + \dfrac{2}{100} =\)

3) \(\dfrac{7}{8} + \dfrac{7,4}{8} =\)

4) \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} =\)

5) \(\dfrac{4}{100} + \dfrac{40}{100} =\)

6) \(\dfrac{6,2}{10} + \dfrac{2,8}{10} =\)

7) \(\dfrac{4,1}{3} + \dfrac{4,02}{3} =\)

8) \(\dfrac{27}{13} + \dfrac{15}{13} =\)

9) \(\dfrac{94}{29} + \dfrac{6}{29} =\)

10) \(\dfrac{754}{231} + \dfrac{157}{231} =\)

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

📝 Correction de l’exercice 1

▶️ Correction en vidéo

🔢Exercice 2 : Addition et soustraction de fractions

Compléter les égalités suivantes :

📌 Exemple :

\(A = \dfrac{5}{2} \dfrac{\times 10}{\times 10} + \dfrac{17}{20}\)

\(A = \dfrac{50+17}{20}\)

\(A = \dfrac{67}{20}\)

Questions

\(B = \dfrac{4}{5} \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots} + \dfrac{3}{10}\)
\(B = \dfrac{\ldots + 3}{10}\)
\(B = \dfrac{\ldots}{10}\)

\(C = \dfrac{3}{2} \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots} + \dfrac{7}{4}\)
\(C = \dfrac{\ldots + 7}{4}\)
\(C = \dfrac{\ldots}{4}\)

\(D = \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3} \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots}\)
\(D = \dfrac{5 + \ldots}{6}\)
\(D = \dfrac{\ldots}{6}\)

\(E = 6 \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots} + \dfrac{4}{3}\)
\(E = \dfrac{\ldots + 4}{3}\)
\(E = \dfrac{\ldots}{3}\)

\(F = \dfrac{12}{5} + 7 \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots}\)
\(F = \dfrac{12 + \ldots}{5}\)
\(F = \dfrac{\ldots}{5}\)

\(G = \dfrac{5}{6} – \dfrac{1}{2} \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots}\)
\(G = \dfrac{5 – \ldots}{6}\)
\(G = \dfrac{\ldots}{6}\)

\(H = \dfrac{7}{3} \dfrac{\times \ldots}{\times \ldots} – \dfrac{13}{12}\)
\(H = \dfrac{\ldots – 13}{12}\)
\(H = \dfrac{\ldots}{12}\)

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🔢Exercice 3 : Addition de fractions (dénominateurs différents)

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\)

\(B = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}\)

\(C = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{10}\)

\(D = 2 + \dfrac{1}{3}\)

\(E = 4 + \dfrac{7}{5}\)

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🔢Exercice 4 : Soustraction de fractions (dénominateurs différents)

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{6}\)

\(B = \dfrac{7}{2} – \dfrac{5}{4}\)

\(C = \dfrac{5}{9} – \dfrac{1}{3}\)

\(D = 7 – \dfrac{20}{3}\)

\(E = \dfrac{27}{4} – 6\)

\(F = \dfrac{17}{7} – 2\)

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🔢Exercice 5 : Opérations avec plusieurs fractions

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{2}{10} + \dfrac{65}{100} + \dfrac{4}{10}\)

\(B = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{7}{2}\)

\(C = \dfrac{10}{3} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{19}{12}\)

\(D = \dfrac{5}{2} + \dfrac{11}{18} + \dfrac{5}{3}\)

\(E = 1 + \dfrac{7}{3} – \dfrac{2}{15} – \dfrac{4}{5}\)

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🔢Exercice 6 : Calculs avec priorités opératoires

Calculer en respectant les priorités et en donnant le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{4}{7} – \left(\dfrac{6}{7} – \dfrac{5}{7}\right) + \dfrac{1}{7}\)

\(B = \dfrac{19}{4} – \left[\dfrac{1}{2} – \left(\dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{4}\right)\right]\)

\(C = \left(\dfrac{7}{12} – \dfrac{1}{6}\right) – \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{3}\right)\)

\(D = \dfrac{3}{10} – \left(\dfrac{97}{100} – 0,8\right)\)

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🔢Exercice 7 : Multiplication de fractions

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5}\)

\(B = \dfrac{12}{7} \times \dfrac{14}{4}\)

\(C = 5 \times \dfrac{3}{20}\)

\(D = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{8}\)

\(E = 3 \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{11}{9}\)

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🔢Exercice 8 : Opérations combinées avec fractions

Donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{7}{5} + \dfrac{2}{5}\right)\)

\(B = \left(\dfrac{7}{4} – \dfrac{3}{4}\right) \times \left(\dfrac{7}{5} + \dfrac{2}{5}\right)\)

\(C = \dfrac{17}{14} – \left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{7}\right)\)

\(D = \left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{6}\right) \times \dfrac{3}{2}\)

\(E = 4 \times \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{5}\right)\)

\(F = \left(\dfrac{10}{8} – \dfrac{1}{4}\right) \times \left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{2}{3}\right)\)

\(G = \dfrac{4}{5} – \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{15} + \dfrac{4}{45}\)

\(H = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{4} – \left(\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{16}\right)\right]\)

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🔢Exercice 9 : Calcul littéral avec fractions

Sachant que \(a = \dfrac{3}{4}\) et \(b = \dfrac{5}{2}\), calculer :

Questions

\(A = 3a + 2b\)

\(B = 4ab\)

\(C = (a + b)(b – a)\)

\(D = \dfrac{5}{3}a – \dfrac{1}{6}b\)

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🔢Exercice 10 : Division de fractions

Calculer :

Questions

1) \(\dfrac{6}{7} \div \dfrac{2}{3}\)

2) \(\dfrac{6}{7} \div \dfrac{3}{4}\)

3) \(\dfrac{6}{7} \div \dfrac{4}{5}\)

4) \(8 \div \dfrac{2}{3}\)

5) \(8 \div \dfrac{3}{4}\)

6) \(8 \div \dfrac{4}{5}\)

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🔢Exercice 11 : Opérations combinées avec fractions

Calculer et donner le résultat en écriture fractionnaire :

Questions

\(A = \left(\dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{6}{11}\)

\(B = 5 \times \left(\dfrac{1}{13} \div \dfrac{3}{4}\right)\)

\(C = \left(\dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{28}\right) \div \dfrac{2}{3}\)

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🧮Exercice 12 : Problème – Achat d’une photocopieuse

Pour acheter une nouvelle photocopieuse, le collège décide de payer les \(\dfrac{3}{4}\) du prix et les parents d’élèves \(\dfrac{1}{5}\) de ce qui reste. Le foyer avait prévu de participer pour \(20\%\) du prix.

Question

Tout cela suffira-t-il pour faire cet achat ?

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🧮Exercice 13 : Problème – Remboursement des frais médicaux

La Sécurité sociale rembourse \(55\%\) des frais médicaux et une mutuelle complète ce remboursement par les \(\dfrac{4}{11}\) de ce que rembourse la Sécurité sociale.

Questions

Quelle fraction des frais médicaux est remboursée par la mutuelle ?

Finalement, quelle fraction des frais médicaux n’est pas remboursée ?

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🧮Exercice 14 : Problème – Les cadeaux de Noël

Noura décide de dépenser le contenu de sa tirelire pour acheter des cadeaux de Noël.

Elle utilise \(\dfrac{3}{7}\) de sa « fortune » pour acheter un cadeau à Hamza et \(\dfrac{4}{9}\) pour Nada.

Questions

Sans faire les divisions, trouver le cadeau qui coûte le plus cher.

Quelle fraction de ses économies reste-t-il à Noura pour un cadeau à son petit frère ?

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🧮Exercice 15 : Problème – Les chocolats

Mariem a dégusté \(\dfrac{1}{6}\) des chocolats qu’on lui a offerts. Son petit frère Ali, qui a repéré où elle cache la boîte, a mangé les \(\dfrac{2}{3}\) du reste.

Question

Quelle fraction de la boîte de chocolats reste-t-il après « l’intervention » d’Ali ?

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🧮Exercice 16 : Problème – La clé USB

La clé USB de Sara est remplie aux deux cinquièmes de sa capacité de stockage qui est de 64 Go.

Question

Peut-elle encore stocker ses photos de l’école qui représentent 10 Go ?

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