Les Nombres rationnels – Cours

Présentation et comparaison des nombres rationnels :

1. Définition d’un nombre rationnel :

Définition  :

Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif a sur un nombre entier relatif non nul .

Le nombre $\frac{a}{b}$  est appelé nombre rationnel.

Exemples : 

Les nombres $\frac{0}{6}, \frac{7}{-9}, \frac{-13}{-79}$ sont des nombres rationnels, mais $\frac{11}{0}$ n’est pas un nombre rationnel car son dénominateur est nul.

Propriété : 

  Tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel.

Exemples : 

$3,6=\frac{36}{10} \quad ; \quad 22=\frac{22}{1} \quad ;-0,125=\frac{-125}{1000}$

Remarque : 

Il existe des nombres rationnels qui ne sont pas décimaux.

          Exemple : 

Le nombre rationnel $\frac{3}{7}$ n’est pas un nombre décimal relatif car $\frac{3}{7}=2,3333….$ 

2. Signe d’un nombre rationnel :

Règle :

Le nombre rationnel $\frac{a}{b}$ est positif si les nombres a et b ont même signes.

Le nombre rationnel $\frac{a}{b}$  est négatif si les nombres a et b ont signes contraires.

Exemples : 

Le nombre rationnel $\frac{-13}{-8}$  est positif, car le numérateur et le dénominateur ont le même signe.

Le nombre rationnel $\frac{27}{-5}$  est négatif, car le numérateur et le dénominateur ont signes contraires.

3. Egalité des nombres rationnels et produits en croix:

Règle :

$ \frac{a}{b} \text { et } \frac{c}{d}$ désignent deux nombres rationnels.

 Si $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{~b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{~d}} \text {, alors } \mathrm{a} \times \mathrm{d}=\mathrm{b} \times \mathrm{c}$ .

 Si $ a \times d=b \times c \text {, alors } \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{~b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{~d}} $

Exemples : 

Comparer les nombres rationnels $\frac{-3}{4}$ et $\frac{18}{-5}$ :

On a: $(-3) \times(-5)=+15$;

Et: $\quad 4 \times 18=72$

On constate que : $(-3) \times(-5) \neq 4 \times 18$

Donc: $\frac{-3}{4} \neq \frac{18}{-5}$.

Cas particuliers :

Si $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ un nombre rationnel, alors :

$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b} \quad ;-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}$

Exemples : 

$\frac{-11}{-9}=\frac{11}{9} \quad ;-\frac{5}{6}=\frac{-5}{6}=\frac{5}{-6}$

4. Simplification d’un nombre rationnel :

Règle :

$\mathrm{Si} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ un nombre rationnel et k un nombre entier relatif non nul, alors :

$\frac{a \times k}{b \times k}=\frac{a}{b} \quad ; \quad \frac{a \div k}{b \div k}=\frac{a}{b}$

Exemples : 

5. Le nombre rationnel et les équations :

Règle :

Le nombre rationnel $\frac{a}{b}$ est la solution de l’équation $a x=b$ tel que a et b sont deux nombres décimaux relatifs et a non nul.

Exemples : 

• La solution de l’équation $-2 x=5$ est le nombre rationnel $x=\frac{5}{-2}$.

• La solution de l’équation $-9 x=-11$ est le nombre rationnel $x=\frac{-11}{-9}$

C’est-à-dire $x=\frac{11}{9}$.

• La solution de l’équation $2 x=-1$ est le nombre rationnel $x=\frac{-1}{2}$.