Les quatre opérations sur les nombres rationnels- Cours

 I- Développement et factorisation

1- Règle du développement et de factorisation

Définition

* Le développement c’est l’écriture d’un produit sous forme d’une somme
* La factorisation c’est l’écriture d’une somme sous forme d’un produit

Règle

Soient $a, b$ et $k$ trois nombres rationnels

Exemples :

• Développement :

$A  =2.5 \times(-3+11)=2.5 \times(-3)+2.5 \times 11=-7.5+27.5=20 $

$B  =\frac{-2}{3} \times\left(\frac{-3}{4}-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{-2}{3}\right) \times\left(\frac{-3}{4}\right)-\left(\frac{-2}{3}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{(-2) \times(-3)}{3 \times 4}-\frac{(-2) \times 1}{3 \times 2} $

$ =\frac{ 2 \times 3}{3 \times 2 \times 2}-\frac{(-1) \times \not 2}{3 \times 2}=\frac{1}{2}-\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$

• Factorisation :
$C =2 \times \frac{1}{5}+2 \times \frac{4}{3}=2 \times\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}\right)=2 \times\left(\frac{3}{15}+\frac{20}{15}\right)=2 \times \frac{3+20}{15} $

$ =2 \times \frac{23}{15}=\frac{46}{15} $

$D  =\frac{3}{5} \times\left(-\frac{1}{7}\right)-\frac{3}{5}=\frac{3}{5} \times\left(\frac{-1}{7}-1\right)=\frac{3}{5} \times\left(\frac{-1}{7}-\frac{7}{7}\right)=\frac{3}{5} \times \frac{-1-7}{7} $

$ =\frac{3}{5} \times \frac{-8}{7}=\frac{3 \times(-8)}{5 \times 7}=\frac{-24}{35}$

II- Somme et produit de plusieurs nombres rationnels

1- Règle de calcul d’une somme de plusieurs nombres

Règle

La somme de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
• Si on change l’ordre des termes
• Si on remplace des termes par leurs somme

Exemples :

$\Rightarrow A  =\frac{3}{7}+\frac{5}{2}-\frac{11}{7}+\frac{7}{2} $

$=\frac{3}{7}-\frac{11}{7}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2} $

$ =\frac{3-11}{7}+\frac{5+7}{2} $

$ =\frac{-8}{7}+\frac{12}{2} $

$ =\frac{-8}{7}+6 $

$=\frac{-8}{7}+\frac{42}{7} $

$=\frac{-8+42}{7}=\frac{34}{7}$
.
$\Rightarrow B  =\frac{14}{3}+\frac{1}{2}-1-\frac{7}{6} $

$ =\frac{14}{3}-\frac{7}{6}+\frac{1}{2}-1 $

$ =\frac{28}{6}-\frac{7}{6}+\frac{1}{2}-\frac{2}{2} $

$ =\frac{28-7}{6}+\frac{1-2}{2} $

$ =\frac{21}{6}+\frac{-1}{2} $

$ =\frac{21}{6}+\frac{-3}{6} $

$ =\frac{21-3}{6} $

$ =\frac{18}{6}=3$

2- Règle de calcul d’un produit de plusieurs nombres

Règle

Le produit de plusieurs nombres rationnels ne change pas :
• Si on change l’ordre des facteurs
• Si on remplace des facteurs par leurs produit

Exemples :

$\Rightarrow A  =\frac{7}{6} \times \frac{-4}{9} \times \frac{6}{2}$

$ =\left(\frac{7}{6} \times \frac{6}{2}\right) \times \frac{-4}{9} $

$ =\frac{7 \times 6}{6 \times 2} \times \frac{-4}{9} $

$ =\frac{7}{2}+\frac{-4}{9} $

$ =\frac{21}{6}+\frac{-1}{2} $

$ =\frac{7 \times 2 \times(-2)}{2 \times 9} $

$ =\frac{7 \times(-2)}{9} $

$ =\frac{-14}{9} $

$ =3$

$\Rightarrow B  =\frac{-4}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{-5}{3} \times 11 $

$ =\frac{-4}{5} \times \frac{-5}{3} \times \frac{1}{3} \times 11 $

$ =\frac{(-4) \times(-5)}{5 \times 3} \times \frac{1 \times 11}{3} $

$ =\frac{(-4) \times(-1) \times \not 5}{8 \times 3} \times \frac{11}{3} $

$ =\frac{4}{3} \times \frac{11}{3} $

$ =\frac{4 \times 11}{3 \times 3} $

$ =\frac{44}{9}$

III- Les règles d’organisation de calcul

1-Calcul sans parenthèses

Règle

Dans un calcul sans parenthèses, on commence par la multiplication et la division avant l’addition et la soustraction

Exemples :

$\Rightarrow A  =\frac{7}{5}+\frac{6}{8} \times \frac{12}{4}-\frac{9}{15} \div \frac{2}{4} $

$ =\frac{7}{5}+\frac{6 \times 12}{8 \times 4}-\frac{9}{15} \times \frac{4}{2} $

$ =\frac{7}{5}+\frac{3 \times 2 \times 4 \times 3}{2 \times 4 \times 4}-\frac{9 \times 4}{15 \times 2} $

$ =\frac{7}{5}+\frac{9}{4}-\frac{3 \times \not \times 2 \times 2}{\not 3 \times 5 \times 2} $

$ =\frac{7}{5}+\frac{9}{4}-\frac{6}{5} $

$ =\frac{7}{5}-\frac{6}{5}+\frac{9}{4}$

$ =\frac{7-6}{5}+\frac{9}{4} $

$ =\frac{1}{5}+\frac{9}{4} $

$ =\frac{4}{20}+\frac{45}{20} $

$ =\frac{4+45}{20} $

$ =\frac{49}{20}$

2- Calcul avec parenthèses

Règle

Dans un calcul avec parenthèses, on calcule d’abord ce qui est entre parenthèse en commençant par les parenthèses les plus intérieurs.

Exemples :

$\Rightarrow A  =\frac{2}{5} \times\left[\frac{1}{2}+\left(3-\frac{2}{3}\right)\right]-1 $

$ =\frac{2}{5} \times\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{3}-\frac{2}{3}\right)\right]-1 

$ =\frac{2}{5} \times\left(\frac{1}{2}+\frac{9-2}{3}\right)-1 $

$ =\frac{2}{5} \times\left(\frac{1}{2}+\frac{7}{3}\right)-1 $

$ =\frac{2}{5} \times\left(\frac{3}{6}+\frac{14}{6}\right)-1 $

$ =\frac{2}{5} \times \frac{3+14}{6}-1 $

$ =\frac{2}{5} \times \frac{17}{6}-1$

$=\frac{2 \times 17}{5 \times 6}-1$

$=\frac{2 \times 17}{5 \times 2 \times 3}-1$

$=\frac{17}{15}-1$

$=\frac{17}{15}-\frac{15}{15}$

$=\frac{17-15}{15}$

$=\frac{2}{15}$

Remarque

• Pour effectuer une suite d’opérations ne contenant que des additions et des soustractions et sans parenthèses, on effectue les calcul de gauche à droite.

• Pour effectuer une suite d’opérations ne contenant que des multiplication et des divisions et sans parenthèses, on effectue les calcul de gauche à droite.