Introduction

Définition : • Un nombre décimal relatif est un nombre décimal précédé d’un signe + ou –. • Les nombres positifs sont notés avec le signe + ou sans signe, ils sont plus grands que 0. • Les nombres négatifs sont notés avec le signe -, ils sont plus petits que 0. • Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs.

📌 Exemples :

• Les nombres \(-1,13\) ; \(-0,2\) ; \(-27,36\) ; \(5,32\) sont des nombres relatifs. • Les nombres \(-19\) ; \(-103\) ; \(-150,2\) ; \(-207,365\) sont des nombres relatifs négatifs. • Les nombres \(+21\) ; \(+103\) ; \(+0,25\) ; \(+227,36\) (ou \(21\) ; \(103\) ; \(0,25\) ; \(227,36\)) sont des nombres relatifs positifs.

Remarques : • Les nombres \(2022\), \(-5\) sont des entiers relatifs. • Les nombres \(-3,2\) ; \(5,4\) sont des décimaux relatifs mais pas des entiers relatifs. • Le nombre \(0\) est à la fois positif et négatif.

📌 Application : On considère les nombres : \(-5\) ; \(13,5\) ; \(-1,5\) ; \(-2\) ; \(-3\) ; \(0\) ; \(12\) ; \(+1,6\) et \(-0,5\).

1) Nombres décimaux négatifs : \(-1,5\) ; \(-0,5\) 2) Nombres décimaux positifs : \(13,5\) ; \(+1,6\) 3) Nombres entiers relatifs : \(-5\) ; \(-2\) ; \(-3\) ; \(0\) ; \(12\)

La droite graduée

Définition : On appelle droite graduée (ou axe), une droite sur laquelle on fixe : • Un point \(O\) appelé origine de la droite graduée • Un sens • Une unité de longueur

Définition : Tout point d’une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.

Remarque : Les points d’abscisses négatives sont situés à gauche du point O, et les points d’abscisses positives sont situés à droite du point O.

Définition : La distance à zéro d’un nombre décimal relatif \(a\), est la distance entre le point d’abscisse \(a\) sur la droite graduée et l’origine de la droite graduée.

📌 Exemples :

• La distance de \(-3\) à zéro est \(3\). • La distance de \(3.5\) à zéro est \(3.5\). • La distance de \(-1.3\) à zéro est \(1.3\).

Définition : Deux nombres relatifs opposés sont deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro et des signes contraires.

📌 Exemples :

• \(-3\) et \(3\) sont opposés, car leurs distances à zéro sont égales à \(3\). • L’opposé de \(2\) est \(-2\) et l’opposé de \(-1\) est \(1\). • L’opposé du nombre \(+a\) (ou \(a\)) est \(-a\) : \(-(+a) = -a\). • L’opposé de \(-a\) est noté \(-(-a)\) : donc \(-(-a) = a\).

Règle 1 : Comparaison de deux nombres positifs Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro (le plus éloigné de zéro).

Règle 2 : Comparaison de deux nombres négatifs Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de zéro).

Règle 3 : Comparaison de deux nombres de signes différents Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.

📌 Exemples :

\(+32 > +13\) ; \(31,63 > +15,57\) ; \(121 < +127\) ; \(1,07 < 107\) \(4,27 > -427\) ; \(6 > -7\) ; \(-3 < +5\) ; \(-17,1 < 17,01\)

📌 Astuce pour ranger une série de nombres :

Pour ranger une série de nombres relatifs positifs et négatifs : 1. Trier les nombres positifs entre eux. 2. Trier les nombres négatifs entre eux. 3. Les positifs sont plus grands que les négatifs (ordre croissant : négatifs puis positifs). 4. Les négatifs sont plus petits que les positifs (ordre décroissant : positifs puis négatifs).

📌 Exemple 1 : Ranger dans l’ordre croissant : \(-4.3\) ; \(4.2\) ; \(-5\) ; \(-4.02\) ; \(5\) ; \(-7\) ; \(-9\) ; \(14.5\)

Étape 1 : On relève les nombres négatifs : \(-4.3\) ; \(-5\) ; \(-4.02\) ; \(-7\) ; \(-9\) Étape 2 : On les range du plus petit au plus grand (attention : plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit) : \(-9 < -7 < -5 < -4.3 < -4.02\) Étape 3 : On relève les nombres positifs : \(4.2\) ; \(5\) ; \(14.5\) Étape 4 : On les range du plus petit au plus grand : \(4.2 < 5 < 14.5\) Conclusion : \(-9 < -7 < -5 < -4.3 < -4.02 < 4.2 < 5 < 14.5\)

📌 Exemple 2 : Ranger dans l’ordre décroissant : \(-6.2\) ; \(6.4\) ; \(-6.201\) ; \(-6.221\) ; \(6.04\) ; \(6.041\)

Étape 1 : On relève les nombres positifs : \(6.4\) ; \(6.04\) ; \(6.041\) Étape 2 : On les range du plus grand au plus petit : \(6.4 > 6.041 > 6.04\) Étape 3 : On relève les nombres négatifs : \(-6.2\) ; \(-6.201\) ; \(-6.221\) Étape 4 : On les range du plus grand au plus petit (plus proche de zéro) : \(-6.2 > -6.201 > -6.221\) Conclusion : \(6.4 > 6.041 > 6.04 > -6.2 > -6.201 > -6.221\)

📌 a) Comparer les nombres suivants :

(1) \(-2022\) et \(-1011\) → \(-2022 < -1011\) (2) \(53\) et \(-11\) → \(53 > -11\) (3) \(-11.3033\) et \(-11.303\) → \(-11.3033 < -11.303\) (4) \(-3\) et \(0\) → \(-3 < 0\) (5) \(99.9999\) et \(-100\) → \(99.9999 > -100\)

📌 b) Ranger dans l’ordre croissant : \(-3\) ; \(-1.5\) ; \(3.2\) ; \(-2\) ; \(0\) ; \(2\) ; \(1.6\) ; \(-16\) ; \(-1\) ; \(-2.2\)

Solution : \(-16 < -3 < -2.2 < -2 < -1.5 < -1 < 0 < 1.6 < 2 < 3.2\)