Opérations sur les nombres rationnels

Opérations sur les nombres rationnels

I-  Addition et soustraction de fractions

1) Les dénominateurs sont les mêmes

Règle

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun

Exemple :

* $\frac{13}{3}+\frac{4}{3}=\frac{13+4}{3}=\frac{17}{3}$

* $\frac{7}{5}+\frac{9}{5}=\frac{7+9}{5}=\frac{16}{5}$

* $\frac{13}{11}-\frac{5}{11}=\frac{13-5}{11}=\frac{8}{11}$

* $\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=\frac{7-3}{4}=\frac{4}{4}=1$

2) Les dénominateurs sont différents

Règle

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents.

On commence par les écrire avec le même dénominateur .

On additionne (ou on soustrait) les numérateurs en conservant notre dénominateur commun.

Exemple :

* $\frac{1}{3}+\frac{5}{2}=\frac{1\times 2}{3\times 2}+\frac{5\times 3}{2\times 3}=\frac{2}{6}+\frac{15}{6}=\frac{2+15}{6}=\frac{17}{6}$

* $\frac{9}{5}-\frac{1}{4}=\frac{9\times 4}{5\times 4}-\frac{1\times 5}{4\times 5}=\frac{36}{20}-\frac{5}{20}=\frac{36-5}{20}=\frac{31}{20}$

Remarque

* Il faut toujours penser aux simplification des fractions avant d’éffectuer leur somme ou leur différence

* Si l’un des dénominateur est multiple de l’autre, alors on le choisi comme dénominateur commun

* Penser toujours a donner le résultat final sous forme irréductible lorsque c’est possible

Exemple :

$\star \frac{3}{5}+\frac{4}{15}=\frac{3\times 3}{5\times 3}+\frac{4}{15}=\frac{9}{15}+\frac{4}{15}=\frac{9+4}{15}=\frac{13}{15}$

$\star \frac{8}{6}+\frac{7}{3}=\frac{4}{3}+\frac{7}{3}=\frac{4+7}{3}=\frac{11}{3}$

$\star \frac{15}{18}-\frac{21}{36}=\frac{5}{6}-\frac{7}{12}=\frac{5\times 2}{6\times 2}-\frac{7}{12}=\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{10-7}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Application

Calculer :

$A=\frac{3}{4}+\frac{7}{4}$

$B=\frac{6}{9}+\frac{10}{9}$

$C=\frac{4}{5}+\frac{12}{5}$

$D=\frac{14}{6}-\frac{7}{6}$

$E=\frac{17}{5}-\frac{2}{5}$

$F=\frac{13}{2}+\frac{7}{8}$

$G=\frac{4}{9}-\frac{2}{81}$

$H=\frac{3}{4}+\frac{6}{9}$

Solution

$A=\frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{10}{4}$

$B=\frac{6}{9}+\frac{10}{9}=\frac{16}{9}$

$C=\frac{4}{5}+\frac{12}{5}=\frac{16}{5}$

$D=\frac{14}{6}-\frac{7}{6}=\frac{7}{6}$

$E=\frac{17}{5}-\frac{2}{5}=\frac{15}{5}=3$

$F=\frac{13}{2}+\frac{7}{8}=\frac{52}{8}+\frac{7}{8}=\frac{59}{8}$

$G=\frac{4}{9}-\frac{2}{81}=\frac{36}{81}-\frac{2}{81}=\frac{34}{81}$

$H=\frac{3}{4}+\frac{6}{9}=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{17}{12}$

II- Produit et quotient de fractions

1) Produit de deux fractions

Règle

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux

Exemple :

$\frac{4}{9}\times \frac{2}{3}=\frac{4\times 2}{9\times 3}=\frac{8}{27}$

(8) $\frac{11}{9}\times 5=\frac{11}{9}\times \frac{5}{1}=\frac{11\times 5}{9\times 1}=\frac{55}{9}$

2) Quotient de deux fractions

a- Inverse d’une fraction

Définition

L’inverse d’une fraction $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$

Exemple :

L’inverse de $\frac{4}{9}$ est $\frac{9}{4}$

L’inverse de 7 est $\frac{1}{7}$

Remarque

Deux nombres en écriture fractionnaire sont inverses, lorsque leur produit est égale à 1.

Exemple :

$\frac{2}{9}\times \frac{9}{2}=\frac{9\times 9}{9\times 2}=\frac{18}{18}=1$

$\frac{11}{7}\times \frac{7}{11}=\frac{11\times 7}{7\times 11}=\frac{77}{77}=1$

Donc $\frac{2}{9}$ et $\frac{9}{2}$ sont inverses

Donc $\frac{11}{7}$ est l’inverse de $\frac{7}{11}$

Ou $\frac{7}{11}$ est l’inverse de $\frac{11}{7}$

b- Quotient de deux fractions

Règle

Le quotient de deux fractions, est le produit de la première par l’inverse de la deuxième.

Exemple :

$\frac{2}{5}÷\frac{9}{4}=\frac{2}{5}\times \frac{4}{9}=\frac{2\times 4}{5\times 9}=\frac{8}{45}$

$\frac{3}{4}÷\frac{10}{8}=\frac{3}{4}÷\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{3\times 4}{4\times 5}=\frac{3}{5}$

Application

Calculer :

$A=\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}$

$B=\frac{6}{5}\times \frac{11}{7}$

$C=4\times \frac{11}{15}$

$D=\frac{7}{2}÷\frac{5}{3}$

$E=\frac{5}{6}÷\frac{6}{5}$

$F=1÷\frac{7}{8}$

Solution

$A=\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1\times 2}{4\times 3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

$B=\frac{6}{5}\times \frac{11}{7}=\frac{6\times 11}{5\times 7}=\frac{66}{35}$

$C=4\times \frac{11}{15}=\frac{4\times 11}{1\times 15}=\frac{44}{15}$

$D=\frac{7}{2}÷\frac{5}{3}=\frac{7}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{7\times 3}{2\times 5}=\frac{21}{10}$

$E=\frac{5}{6}÷\frac{6}{5}=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{5\times 5}{6\times 6}=\frac{25}{36}$

$F=1÷\frac{7}{8}=\frac{8}{7}$