Ordre et Opérations – Cours

Ordre et Opérations – Cours

Ordre et opérations

I- Comparaison de deux nombres réels

Règle 1

Soit a et b deux nombres réels

 $$ \star \text { Si } a-b \leqslant 0, \text { alors } a \leqslant b$$
$$\star \text { Si } a-b \geqslant 0, \text { alors } a \geqslant b$$

C’est à dire, pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence

 
Exemples :
1) Comparer les nombres $a=\frac{4}{35}$ et $b=\frac{2}{15}$
2) Comparer les nombres $2 \sqrt{3}-4$ et $\sqrt{3}-5$
3) Comparer $x$ et $y$ tel que : $x=y-3$
 
Solution

1) Comparons $a=\frac{4}{35}$ et $b=\frac{2}{15}$

On a : $a-b=\frac{4}{35}-\frac{2}{15}=\frac{12}{105}-\frac{14}{105}=\frac{12-14}{105}=\frac{-2}{105}$
Or : $\frac{-2}{105}<0$, donc $a-b<0$
Alors $a<b$

2) Comparons $2 \sqrt{3}-4$ et $\sqrt{3}-5$
On a : $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)=2 \sqrt{3}-4-\sqrt{3}+5=\sqrt{3}+1$
Or : $\sqrt{3}+1>0$ donc $(2 \sqrt{3}-4)-(\sqrt{3}-5)>0$
Alors $2 \sqrt{3}-4>\sqrt{3}-5$

3) Comparons $x$ et $y$ tel que : $x=y-3$
On a : $x-y=(y-3)-y=y-3-y=-3$, donc $x-y<0$
Alors : $x<y$

Application
Comparer les deux nombres dans chaque cas
$1)  \frac{12}{7}$ et $\frac{15}{14}$
$2) 7+\sqrt{2}$ et $-3 \sqrt{2}-1$
$3)  \sqrt{3}-1$ et $5 \sqrt{3}+4$
 
Solution
Comparons les deux nombres dans chaque cas

1) Comparons : $\frac{12}{7}$ et $\frac{15}{14}$
On a $: \frac{15}{14}-\frac{12}{7}=\frac{15-24}{14}=\frac{-9}{14}$
Or $\frac{-9}{14}<0$ donc $\frac{15}{14}-\frac{12}{7}<0$
Alors : $\frac{15}{14}<\frac{12}{7}$
 
2) Comparons: $7+\sqrt{2}$ et $-3 \sqrt{2}-1$
On a : $(7+\sqrt{2})-(-3 \sqrt{2}-1)=7+\sqrt{2}+3 \sqrt{2}+1=4 \sqrt{2}+8$
Or : $4 \sqrt{2}+8>0$ donc $(7+\sqrt{2})-(-3 \sqrt{2}-1)>0$
Alors: $7+\sqrt{2}>-3 \sqrt{2}-1$
 
3) Comparons : $\sqrt{3}-1$ et $5 \sqrt{3}+4$
On a: $(5 \sqrt{3}+4)-(\sqrt{3}-1)=5 \sqrt{3}+4-\sqrt{3}+1=4 \sqrt{3}+5$
Or : $4 \sqrt{3}+5>0$ donc $(5 \sqrt{3}+4)-(\sqrt{3}-1)>0$
Alors : $\sqrt{3}-1<5 \sqrt{3}+4$

II- Ordre et opérations

1) Ordre et addition

Proposition

Soit $a, b$ et $c$ trois nombres réels

$\star$ Si $a \leqslant b$ alors $a+c \leqslant b+c$
$\star$ Si $a+c \leqslant b+c$ alors $a \leqslant b$

 
Exemples :
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tel que : $a+4 \leqslant b$
Montrer que : $a+1 \leqslant b$
 
Solution
Montrons que : $a+1 \leqslant b$
On a : $a+4 \leqslant b$, donc $a+4-3 \leqslant b-3$
Alors : $a+1 \leqslant b$
 
 
Proposition
Soit $a, b, c$ et $d$ des nombres réels
$\star$ Si $a \leqslant b$ et $c \leqslant d$ alors $a+c \leqslant b+d$
 
Exemples :
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tel que : $a+3 \leqslant 3$ et $b+4 \leqslant \sqrt{2}$
Montrer que : $a+b+7 \leqslant \sqrt{2}+3$
 
Solution
Montrons que : $a+b+7 \leqslant \sqrt{2}+3$
On a : $a+3 \leqslant 3$ et $b+4 \leqslant \sqrt{2}$, donc $a+3+b+4 \leqslant 3+\sqrt{2}$
Alors : $a+b+7 \leqslant \sqrt{2}+3$
2) Ordre et multiplication

Proposition

Soit $a, b$ et $c$ trois nombres réels

$\star$ Si $a \leqslant b$ et $c>0$ donc $a \times c \leqslant b \times c$
$\star$ Si $a \leqslant b$ et $c<0$ donc $a \times c \geqslant b \times c$

Remarque

Si $a \leqslant b$ alors $-a \geqslant-b$
C’est à dire, l’opposé change l’ordre

Exemples :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tel que : $a \geqslant \frac{4}{3}$ et $b \geqslant \sqrt{3}$
Déduire un ordre de $3 a$ et de $-2 b$
 
Solution
Déduisons un ordre de $3 a$
On a : $a \geqslant \frac{4}{3}$ donc $3 \times a \geqslant 3 \times \frac{4}{3}$ donc $3 a \geqslant 4 \leftrightarrow$ Déduisons un ordre de $-2 b$
On a : $b \geqslant \sqrt{3}$ donc $-2 \times b \leqslant-2 \times \sqrt{3}$ donc $-2 b \leqslant-2 \sqrt{3}$
 

Proposition

Soient $a, b, c$ et $d$ des nombres réels positifs

$\star$ Si $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant b \\ c \leqslant d\end{array}\right.$ Alors $a \times c \leqslant b \times d$

Exemple :
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels positifs tel que : $x<\sqrt{3}$ et $y<2 \sqrt{6}$
Montrer que : $x y<6 \sqrt{2}$
 
Solution
Montrons que : $x y<6 \sqrt{2}$
On a : $\left\{\begin{array}{l}x<\sqrt{3} \\ y<2 \sqrt{6}\end{array}\right.$ donc $x \times y<\sqrt{3} \times 2 \sqrt{6}$ C’est à dire $x \times y<\sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ C’est à dire
$x \times y<2 \sqrt{3}^{2} \times \sqrt{2}$ C’est à dire $x \times y<2 \times 3 \times \sqrt{2}$ C’est à dire $x \times y<6 \times \sqrt{2}$ C’est à dire $x y<6 \sqrt{2}$
 
Application
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tel que : $x \geqslant 1$ et $y \geqslant 2$
Montrer que : $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
 
Solution
Montrons que : $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
On a $x \geqslant 1$ donc $x-1 \geqslant 0$
et on a $y \geqslant 2$ donc $y-2 \geqslant 0$
D’où $(x-1)(y-2) \geqslant 0$
3) Ordre et inverse

Proposition

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs

$\star$ Si $a \leqslant b$ alors $\frac{1}{a} \geqslant \frac{1}{b}$ et la réciproque est vraie

Remarque

L’inverse change l’ordre

Exemples :
* On a $2 \leqslant 4$ dons $\frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{4}$
* On a $11>5$ dons $\frac{1}{11}<\frac{1}{5}$
 
Application
Soit $x$ un nombre réel tel que $x \geqslant 1$
Montrer que : $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
 
Solution
Montrons que : $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
On a $x \geqslant 1$ donc $x+2 \sqrt{3} \geqslant 1+2 \sqrt{3}$
Alors $\frac{1}{x+2 \sqrt{3}} \leqslant \frac{1}{1+2 \sqrt{3}}$
D’où $\frac{-5}{x+2 \sqrt{3}} \geqslant \frac{-5}{1+2 \sqrt{3}}$
 
4) Autres propriétés : Carré et racine carré

Proposition
( Carré ) Soient $a$ et $b$ deux nombre réels positifs
$\star a \leqslant b$ est équivalent à $a^{2} \leqslant b^{2}$

Remarque

$\star a$ et $b$ deux nombres réels négatifs
$a \leqslant b$ est équivalent à $a^{2} \geqslant b^{2}$
* L’ordre change dans les cas suivants :

– On multiplie par un nombre négatif
– On fait l’inverse
– On prend le carrés de deux nombres négatifs

Exemples :

1) Comparer 3 et $2 \sqrt{2}$
2) Comparer $-2 \sqrt{5}$ et $-3 \sqrt{2}$

Solution

1) Comparons 3 et $2 \sqrt{2}$

On a $(2 \sqrt{2})^{2}=4 \times 2=8$ et $3^{2}=9$
Donc $3^{2}>(2 \sqrt{2})^{2}$, alors $3>2 \sqrt{2}$

2) Comparons $-2 \sqrt{5}$ et $-3 \sqrt{2}$

On a $(2 \sqrt{5})^{2}=4 \times 5=20$ et $(3 \sqrt{2})^{2}=9 \times 2=18$
Donc $(2 \sqrt{5})^{2}>(3 \sqrt{2})^{2}$, donc $2 \sqrt{5}>3 \sqrt{2}$, alors $-2 \sqrt{5}<-3 \sqrt{2}$

Proposition

( Racine carré ) Soit $a$ et $b$ deux nombres réels positifs

$\star$ Si $a \leqslant b$ alors $\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$
$\star \operatorname{Si} \sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$ alors $a \leqslant b$

Application

1- Comparer $3 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{2}$
2- Comparer $-\sqrt{91}$ et $-6 \sqrt{3}$
3- Comparer les nombres $\sqrt{5}+4$ et $\sqrt{3}+4$

Solution

1- Comparons $3 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{2}$
On a $(3 \sqrt{3})^{2}=9 \times 3=27$ et $(4 \sqrt{2})^{2}=16 \times 2=32$
Or $27<32 \operatorname{donc}(3 \sqrt{3})^{2}<(4 \sqrt{2})^{2}$
Alors $3 \sqrt{3}<4 \sqrt{2}$

2- Comparons $-\sqrt{91}$ et $-6 \sqrt{3}$
On a $\sqrt{91}^{2}=91$ et $(6 \sqrt{3})^{2}=36 \times 3=108$
Or $91<108$ donc $\sqrt{91}^{2}<(6 \sqrt{3})^{2}$ donc $\sqrt{91}<6 \sqrt{3}$ Alors $-\sqrt{91}>-6 \sqrt{3}$

3- Comparons $\sqrt{5}+4$ et $\sqrt{3}+4$
On a $\sqrt{3}^{2}=3$ et $\sqrt{5}^{2}=5$
Or $3<5$ donc $\sqrt{3}^{2}<\sqrt{5}^{2}$ donc $\sqrt{3}<\sqrt{5}$
Alors $\sqrt{3}+4<\sqrt{5}+4$

III- Encadrement

1- Encadrement d’une somme

On considère tous les nombres réels

Si $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant x \leqslant b \\ c \leqslant y \leqslant d\end{array}\right.$. Alors : $a+c \leqslant x+y \leqslant b+d$

Exemples :
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels tel que : $2 \leqslant x \leqslant 5$ et $-3 \leqslant y \leqslant-1$
Encadrer $x+y$
 
Solution
Enacdrons $x+y$
On a $2 \leqslant x \leqslant 5$ et $-3 \leqslant y \leqslant-1$ donc $2+(-3) \leqslant x+y \leqslant 5+(-1)$
Alors $-1 \leqslant x+y \leqslant 4$
2- Encadrement d’un opposé

Proposition

Soit $x$ un nombre réel tel que $a \leqslant x \leqslant b$
On a $-b \leqslant-x \leqslant-a$

Exemple :

Soit $-4 \leqslant x \leqslant 3$ donc $-3 \leqslant-x \leqslant 4$

3- Encadrement d’une différence

Proposition

On considère tous les nombres réels
Si $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant x \leqslant b \\ c \leqslant y \leqslant d\end{array}\right.$. Alors : $a-d \leqslant x-y \leqslant b-c$

Remarque

On a $a-b=a+(-b)$
Donc pour encadrer $a-b$, on encadre d’abord $-b$ puis on applique la proposition 8 (Proposition de l’encadrement d’une somme)

Exemple :

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels tel que : $3 \leqslant x \leqslant 8$ et $-4 \leqslant y \leqslant 2$
Encadrer $x-y$

Solution

Enacdrons $x-y$
On a $-4 \leqslant y \leqslant 2$ donc $-2 \leqslant-y \leqslant 4$ On a $3 \leqslant x \leqslant 8$ et $-2 \leqslant-y \leqslant 4$ donc $3+(-2) \leqslant x+(-y) \leqslant$ $8+4$
Alors $1 \leqslant x-y \leqslant 12$

4- Encadrement d’un produit

Proposition

On considère tous les nombres réels positifs
Si $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant x \leqslant b \\ c \leqslant y \leqslant d\end{array}\right.$. Alors : $a \times c \leqslant x \times y \leqslant b \times d$

Exemple :

Cas 1 : tous les nombres sont positifs
On a $3 \leqslant x \leqslant 7$ et $1 \leqslant y \leqslant 4$
Encadrer $x y$

Cas $2:$ l’un des nombres est positif et l’autre est négatif
On a $4 \leqslant x \leqslant 8$ et $-5 \leqslant y \leqslant-2$
Encadrer $x y$

Solution

$\star$ Cas 1 : tous les nombres sont positifs
Encadrons $x y$
On a $3 \leqslant x \leqslant 7$ et $1 \leqslant y \leqslant 4$
Donc $3 \times 1 \leqslant x y \leqslant 7 \times 4$
Alors $3 \leqslant x y \leqslant 28$
* Cas 2 : l’un des nombres est positif et l’autre est négatif

Encadrons $x y$
D’abord les deux nombres encadrants $y$ doivent être positifs
On a $-5 \leqslant y \leqslant-2$ donc $2 \leqslant-y \leqslant 5$
On a $4 \leqslant x \leqslant 8$ et $2 \leqslant-y \leqslant 5$ (Remarquez que tous les nombres sont positifs )
Donc $4 \times 2 \leqslant x \times(-y) \leqslant 8 \times 5$
Donc $8 \leqslant-x y \leqslant 40$
Mais ce qu’on cherche, c’est encadrer $x y$ et pas $-x y$, donc on se débarrasse du signe –
On a $8 \leqslant-x y \leqslant 40$ alors $-40 \leqslant x y \leqslant-8$

5- Encadrement d’un inverse

Proposition

Soient $x, a$ et $b$ des nombres réels non nuls tel que : $a \leqslant x \leqslant b$
On a $: \frac{1}{b} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{a}$

Exemple :

On a $2 \leqslant x \leqslant 4$ donc $\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{2}$

 
6- Encadrement d’un quotient

Proposition

On considèretous les nombres réels positifs
Si $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant x \leqslant b \\ c \leqslant y \leqslant d\end{array}\right.$ tel que : $c \neq 0 ; y \neq 0$ et $d \neq 0$
Alors : $\frac{a}{d} \leqslant \frac{x}{y} \leqslant \frac{b}{c}$

Remarque

On a $\frac{a}{b}=a \times \frac{1}{b}$
Donc, pour encadrer $\frac{a}{b}$, on en cadre d’abord $\frac{1}{b}$, après on applique la proposition la proposition 11 (Proposition de l’encadrement d’un produit)

Exemple :

Cas $1:$ tous les nombres sont positifs
On a $6 \leqslant x \leqslant 10$ et $2 \leqslant y \leqslant 3$
Encadrer $\frac{x}{y}$

Cas $2:$ l’un des nombres est positif et l’autre est négatif
On a $2 \leqslant x \leqslant 5$ et $-4 \leqslant y \leqslant-2$
Encadrer $\frac{x}{y}$

Solution

Cas 1 : tous les nombres sont positifs
Encadrons $\frac{x}{y}$
On a $\frac{x}{y}=x \times \frac{1}{y}$
Encadrant d’abord $\frac{1}{y}$
On a $2 \leqslant y \leqslant 3$ donc $\frac{1}{3} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{2}$
On a $\left\{\begin{array}{l}6 \leqslant x \leqslant 10 \\ \frac{1}{3} \leqslant \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{2}\end{array}\right.$
Donc $6 \times \frac{1}{3} \leqslant x \times \frac{1}{y} \leqslant 10 \times \frac{1}{2}$
Alors $2 \leqslant \frac{x}{y} \leqslant 5$ $\star$

 

Cas 2 : l’un des nombres est positif et l’autre est négatif
Encadrons $\frac{x}{y}$
On doit transformer les nombres négatifs en nombres positifs
On a $-4 \leqslant y \leqslant-2$ donc $2 \leqslant-y \leqslant 4$ Après on encadre l’inverse de $-y$
On a $2 \leqslant-y \leqslant 4$ donc $\frac{1}{4} \leqslant \frac{-1}{y} \leqslant \frac{1}{2}$
On a $\left\{\begin{array}{l}2 \leqslant x \leqslant 5 \\ \frac{1}{4} \leqslant \frac{-1}{y} \leqslant \frac{1}{2}\end{array}\right.$
Donc $2 \times \frac{1}{4} \leqslant x \times \frac{-1}{y} \leqslant 5 \times \frac{1}{2}$
Donc $\frac{2}{4} \leqslant \frac{-x}{y} \leqslant \frac{5}{2}$
Donc $\frac{1}{2} \leqslant \frac{-x}{y} \leqslant \frac{5}{2}$
Alors $\frac{-5}{2} \leqslant \frac{x}{y} \leqslant \frac{-1}{2}$

Application
Comparer les deux nombres dans chaque cas :

Ordre et Opérations – Cours