Ordre et Opérations – Évaluations corrigés

Exercice 1：(4,5pts)

1) Comparons $-\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

On a $0<\frac{1}{2}$ donc $-\sqrt{2}+0<-\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ d’où $-\sqrt{2}<-\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

Comparons $\frac{3}{7}+3^{2020}$ et $\frac{12}{5}+3^{2020}$

On a $\frac{3}{7}<1 \quad($ car $3<7)$ et $\frac{12}{5}>1 \quad($ car $12>5)$

donc $\frac{3}{7}<\frac{12}{5}$

d’où $\frac{3}{7}+3^{2020}$ < $\frac{12}{5}+3^{2020}$

Comparons $-\sqrt{3} \times \frac{5}{9}$ et $-\sqrt{3} \times \frac{7}{18}$

On a $\frac{5}{9}>\frac{7}{18}$ donc $\sqrt{3} \times \frac{5}{9}>\sqrt{3} \times \frac{7}{18}$ d’où $-\sqrt{3} \times \frac{5}{9}<-\sqrt{3} \times \frac{7}{18}$

2) Comparons $x+y$ et $y-x$

$(x+y)-(y-x)=x+y-y+x=2 x>0$ car $x>0$ donc $(x+y)-(y-x)>0$ d’où $x+y>y-x$

Comparons $3 y+x$ et $4 y+x$

$(4 y+x)-(3 y+x)=4 y+x-3 y-x=y<0$ donc $(4 y+x)-(3 y+x)<0$ d’où $4 y+x<3 y+x$

3) Comparons $a$ et $b$

$a-b=(\sqrt{12}+\sqrt{27})-\sqrt{48}=(\sqrt{4 \times 3}+\sqrt{9 \times 3})-\sqrt{16 \times 3}=(2 \sqrt{3}+3 \sqrt{3})-4 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}=\sqrt{3}>0$

Donc $a-b>0$ d’où $a>b$

Exercice 2：(5pts)

1)

Comparons $3 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{7}$
On a $(3 \sqrt{3})^{2}=9 \times 3=27$ et $(2 \sqrt{7})^{2}=4 \times 7=28$
Or $27<28 \operatorname{donc}(3 \sqrt{3})^{2}<(4 \sqrt{2})^{2}$
Alors $3 \sqrt{3}<2 \sqrt{7}$

Comparons $-3 \sqrt{3}$ et $-2 \sqrt{7}$ 
On a $\quad 3 \sqrt{3}<2 \sqrt{7}$ 
Donc $\quad-3 \sqrt{3}>-2 \sqrt{7}$

Comparons $-3 \sqrt{3}+1$ et $-2 \sqrt{7}+1$
On a $\quad-3 \sqrt{3}>-2 \sqrt{7}$

Donc $\quad-3 \sqrt{3}+1>-2 \sqrt{7}+1$

Comparons $\quad 3 \sqrt{5}$ et $\quad \sqrt{3}-\sqrt{17}$ 
On a $\quad 3 \sqrt{5}>0\quad $ et $\quad \sqrt{3}-\sqrt{17}<0\quad $ car $\quad \sqrt{3}<\sqrt{17}$
Donc $\quad3 \sqrt{5}>\sqrt{3}-\sqrt{17}$

Comparons $\sqrt{7+2 \sqrt{11}}$ et $\sqrt{3}+2$
On a $\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{7+2 \sqrt{11}})^{2}=7+2 \sqrt{11} \\ (\sqrt{3}+2)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times \sqrt{3} \times 2+2^{2}=3+4 \sqrt{3}+4=7+4 \sqrt{3}\end{array}\right.$
Donc on compare $7+2 \sqrt{11}$ et $7+4 \sqrt{3}$
On a $\left\{\begin{array}{l}(2 \sqrt{11})^{2}=4 \times 11=44 \\ (4 \sqrt{3})^{2}=16 \times 3=48\end{array}\right.$ puisque $(2 \sqrt{11})^{2}<(4 \sqrt{3})^{2}$ donc $2 \sqrt{11}<4 \sqrt{3}$ d’où $7+2 \sqrt{11}<7+4 \sqrt{3}$
$(\sqrt{7+2 \sqrt{11}})^{2}<(\sqrt{3}+2)^{2}$ et par suite $\sqrt{7+2 \sqrt{11}}<\sqrt{3}+2$

2)

On montre que $a+1 \leq b+\frac{5}{4}$
On a $\left\{\begin{array}{l}a \leq b \\ 1 \leq \frac{5}{4}\end{array}\right.$ donc $a+1 \leq b+\frac{5}{4}$
On montre que $b+\sqrt{7} \geq a-3 \sqrt{7}$
On a $\left\{\begin{array}{l}b \geq a \\ \sqrt{7} \geq-3 \sqrt{7}\end{array}\right.$ donc $b+\sqrt{7} \geq a+(-3 \sqrt{7})$ d’où $b+\sqrt{7} \geq a-3 \sqrt{7}$
$>$ Comparons $\frac{a^{2}+3 b^{2}}{4}$ et $b^{2}$
On a $a$ et $b$ deux nombres réels positifs tels que : $a \leq b$ donc $a^{2} \leq b^{2}$ d’où $a^{2}+3 b^{2} \leq b^{2}+3 b^{2}$ alors $a^{2}+3 b^{2} \leq 4 b^{2}$ d’où $\frac{a^{2}+3 b^{2}}{4} \leq \frac{4 b^{2}}{4}$ et par suite $\frac{a^{2}+3 b^{3}}{4} \leq b^{2}$

Exercice 3：(2,5pts)

On pose : $a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ et $b=\frac{\sqrt{3}+5}{2}$

1) On montre que $a-b=\frac{\sqrt{3}-7}{2}$
$a-b=\frac{2}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}+5}{2}=\frac{2 \times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \times(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{3}+5}{2}=\frac{2 \times \sqrt{3}-2 \times 1}{\sqrt{3}^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{3}+5}{2}$
$=\frac{2 \sqrt{3}-2}{3-1}-\frac{\sqrt{3}+5}{2}=\frac{2 \sqrt{3}-2}{2}-\frac{\sqrt{3}+5}{2}=\frac{(2 \sqrt{3}-2)-(\sqrt{3}+5)}{2}=\frac{2 \sqrt{3}-2-\sqrt{3}-5}{2}=\frac{\sqrt{3}-7}{2}$

2) Comparons $\sqrt{3}$ et 7
$(\sqrt{3})^{2}=3$ et $7^{2}=49$ donc $(\sqrt{3})^{2}<7^{2}$ d’où $\sqrt{3}<7$
1- Comparons $a$ et $b$.
On a $\sqrt{3}<7$ donc $\sqrt{3}-7<0$ d’où $a-b=\frac{\sqrt{3}-7}{2}<0$ donc $a-b<0$ d’où $a<b$

Exercice 4：(8pts)

1) On montre que : $\frac{2}{3} \leq c \leq 1$
On a $\frac{1}{2} \leq \frac{3 c-1}{2} \leq 1$

donc $\frac{1}{2} \leq \frac{3 c-1}{2} \leq \frac{2}{2}$

d’où $1 \leq 3 c-1 \leq 2$

d’oú $1+1 \leq 3 c-1+1 \leq 2+1$

donc $2 \leq 3 c \leq 3$

d’oú $\frac{2}{3} \leq \frac{3 c}{3} \leq \frac{3}{3}$

et par suite $\frac{2}{3} \leq  c \leq 1$

2)
Encadrons $a+b$ 
On a $9 \leq a \leq 16 \quad$ et $\quad 6 \leq b \leq 7 \quad$ 
Donc  $9+6 \leq a+b \leq 16+7$ 
D’où $15 \leq a+b \leq 23$

Encadrons $a-b$ 

On sait que $a-b = a+(-b)$
On a $9 \leq a \leq 16 \quad$ et $\quad -7 \leq -b \leq -6 \quad$
Donc $9+(-7) \leq a+(-b) \leq 16+(-6)$
D’où $2 \leq a-b \leq 10$

Encadrons $-3 a+2 b-15$

On a $9 \leq a \leq 16$ donc $3 \times 9 \leq 3 \times a \leq 3 \times 16$ 
D’oú̀ $27 \leq 3 a \leq 48$ d’oú $-48 \leq-3 a \leq-27$
On a $6 \leq b \leq 7$ d’où $12 \leq 2 b \leq 14$ 
donc $-48+12 \leq-3 a+2 b \leq-27+14$ 
D’où $-36 \leq-3 a+2 b \leq-13$ 
D’oú  $-36-15 \leq-3 a+2 b-15 \leq-13-15$ 
Et par suite $-51 \leq-3 a+2 b-15 \leq-28$

Encadrons $a b$

On a $\left\{\begin{array}{l}9 \leq a \leq 16 \\ 6 \leq b \leq 7\end{array}\right.$
Donc $9 \times 6 \leq a \times b \leq 16 \times 7$
D’où $54 \leq a b \leq 112$

Encadrons $\frac{a}{b} \quad\left(\frac{a}{b}=a \times \frac{1}{b}\right)$

On a $6 \leq b \leq 7$ donc $\frac{1}{7} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{6}$
On a $9 \leq a \leq 16$ et $\frac{1}{7} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{6}$
Donc $9 \times \frac{1}{7} \leq a \times \frac{1}{b} \leq 16 \times \frac{1}{6}$
D’où $\frac{9}{7} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \frac{16}{6}$
et par suite $\frac{9}{7} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{8}{3}$

Encadrons $\frac{2 a-b}{a+b}$

$\left(\frac{2 a-b}{a+b}=(2 a-b) \times \frac{1}{a+b}\right)$

Encadrons $2 a-b$
$2 a-b=2 a+(-b)$
On a $\left\{\begin{array}{l}18 \leq 2 a \leq 32 \\ -7 \leq-b \leq-6\end{array}\right.$ donc $18+(-7) \leq 2 a+(-b) \leq 32+(-6)$
D’où $11 \leq 2 a-b \leq 26$

Encadrons $\frac{1}{a+b}$
On a $15 \leq a+b \leq 23$ donc $\frac{1}{23} \leq \frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{15}$

Encadrons $\frac{2 a-b}{a+b} \quad\left(\frac{2 a-b}{a+b}=(2 a-b) \times \frac{1}{a+b}\right)$
On a $11 \leq 2 a-b \leq 26$ et $\frac{1}{23} \leq \frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{15}$
Donc $11 \times \frac{1}{23} \leq(2 a-b) \times \frac{1}{a+b} \leq 26 \times \frac{1}{15}$
Et par suite $\frac{11}{23} \leq \frac{2 a-b}{a+b} \leq \frac{26}{15}$

Encadrons $\sqrt{a}$
On a $9 \leq a \leq 16$ donc $\sqrt{9} \leq \sqrt{a} \leq \sqrt{16}$ d’où $3 \leq \sqrt{a} \leq 4$