Produit et quotient des nombres rationnels

Produit et quotient des nombres rationnels

I- Produit de deux nombres rationnels

Règle

Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux nombres rationnels

$\star\quad\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}$

$\star \quad B=\frac{-7}{13} \times \frac{2}{3}=\frac{(-7) \times 2}{13 \times 3}=\frac{-14}{39}$

$\star \quad C=\frac{5}{19} \times(-7)=\frac{5 \times(-7)}{19}=\frac{-35}{19}$

$\star \quad D=(-3) \times \frac{2}{-7}=\frac{(-3) \times 2}{-7}=\frac{-6}{-7}=\frac{6}{7}$

Remarque

(1) Avant de calculer le produit de deux nombres rationnels, il faut d’abord les rendre irréductibles

(2) Dans un produit, pour rendre les nombres rationnels irréductibles, on le fait verticalement ou diagonalement

II- Produit de trois nombres rationnels

Propriété

Soient $x, y$ et $z$ trois nombres rationnels

$\star\quadx \times y \times z=(x \times y) \times z=x \times(y \times z)=(x \times z) \times y$

Exemples : 

$\Rightarrow A=\frac{-15}{8} \times \frac{-4}{3} \times \frac{12}{10} \left\lvert\, \quad \Rightarrow B=\frac{25}{6} \times \frac{24}{15} \times \frac{9}{8} \quad \Rightarrow C=\frac{15}{-4} \times 3 \times \frac{8}{5}\right.$

Solution

$A=\frac{-15}{8} \times \frac{-4}{3} \times \frac{12}{10}  $

$A=\frac{(-15) \times(-4)}{8 \times 3} \times \frac{12}{10}$

$A=\frac{\not 3 \times(-5) \times(-1) \times \not 4}{\not 4 \times 2 \times \not 3} \times \frac{12}{10}$

$A=\frac{5}{2} \times \frac{12}{10}$

$A=\frac{5}{2} \times \frac{6×2}{5×2}$

$A=\frac{6}{2}$

$A=3$

$B=\frac{25}{6} \times \frac{24}{15} \times \frac{9}{8} $

$B=\frac{25}{6} \times \frac{24 \times 9}{15 \times 8}$

$B=\frac{25}{6} \times \frac{\not 8 \times \not 3 \times 3 \times 3}{5 \times \not 3 \times \not 8}$

$B=\frac{25 \times 3 \times 3}{6 \times 5}$

$B=\frac{\not 5×5 \times \not 3 \times 3}{\not 3×2 \times \not 5}$

$B=\frac{15}{2}$

$  C=\frac{15}{-4} \times 3 \times \frac{8}{5}$

$C=\frac{15}{-4} \times \frac{8}{5} \times 3$

$C=\frac{15 \times 8}{(-4) \times 5} \times 3$

$C=\frac{5 \times 3 \times 2 \times 4}{(-1) \times 4 \times 5} \times 3$

$C=\frac{3 \times 2}{-1} \times 3$

$C=-3 \times 2\times 3$

$C=-18$

III- Quotient de deux nombres rationnels

1) L’inverse d’un nombre rationnel non nul

Définition

Soit $\frac{a}{b}$ un nombre rationnel non nul

On a $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}=1$

* L’inverse du nombre $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ et on le note $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}$ et on écrit : $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}$

$\star$ L’inverse du nombre $\frac{b}{a}$ est $\frac{a}{b}$

Propriété

Soient $\frac{a}{b}$ et $x$ deux nombres rationnels non nuls

On a $:\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}$ et $x^{-1}=\frac{1}{x}$

Et on a : $\frac{a}{b} \times\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=1$ et $x \times x^{-1}=1$

Exemples :

$\rightarrow$ L’inverse de $\frac{-11}{5}$ est $\left(\frac{-11}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{-11}=\frac{-5}{11}=-\frac{5}{11}$

$\rightarrow$ L’invers de $\frac{1}{7}$ est $\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}=\frac{7}{1}=7$

$ \rightarrow$ L’inverse de -17 est $(-17)^{-1}=\frac{1}{-17}=\frac{-1}{17}=-\frac{1}{17}$

$\rightarrow$ L’inverse de $\frac{3}{-7}$ est $\left(\frac{3}{-7}\right)^{-1}=\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3}$

2) Le quotient de deux nombres rationnels

Règle

Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux nombres rationnels tel que $c \neq 0$

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{a \times d}{b \times c}$

Exemples :

$\Rightarrow A=\frac{12}{8} \div \frac{25}{15}$

$\Rightarrow B=\frac{\frac{-14}{16}}{\frac{21}{-12}}$

$\Rightarrow C=\frac{6}{5} \div 3=\frac{6}{5} \times \frac{1}{3}$

$\Rightarrow D=\frac{-32}{\frac{18}{12}}$

$\Rightarrow E=\frac{\frac{10}{45}}{-20}$

Solution

$\Rightarrow A=\frac{12}{8} \div \frac{25}{15}=\frac{12}{8} \times \frac{15}{25}=\frac{4 \times 3}{4 \times 2} \times \frac{\not 53}{\not 5 \times 5}=\frac{3}{2} \times \frac{3}{5}=\frac{3 \times 3}{2 \times 5}=\frac{9}{10}$

$\Rightarrow B=\frac{\frac{-14}{16}}{\frac{21}{-12}}=\frac{-14}{16} \times \frac{-12}{21}=\frac{(-14) \times(-12)}{16 \times 21}=\frac{14 \times 12}{16 \times 21} \frac{7 \times \not 2 \times 4 \times \not B}{4 \times 2 \times 2 \times 7 \times \not 3}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow C=\frac{6}{5} \div 3=\frac{6}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{\not 3 \times 2}{5 \times \not B}=\frac{2}{5}$

$\Rightarrow D=\frac{-32}{\frac{18}{12}}=\frac{-32}{1} \times \frac{12}{18}=\frac{-32 \times 6 \times 2}{6 \times 3}=\frac{-64}{3}$

$\Rightarrow E=\frac{\frac{10}{45}}{-20}=\frac{10}{45} \times \frac{1}{-20}=\frac{10}{45} \times \frac{-1}{20}=\frac{-10}{45 \times 20}=\frac{10 \times(-1)}{45 \times 10 \times 2}=\frac{-1}{90}$