Racine Carrée : Cours

I. Racine carrée d’un nombre réel :

Définition :

La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b.

On a donc $\boldsymbol{d}^{\mathbf{2}}=\boldsymbol{b}$ et on note $\boldsymbol{d}= \boldsymbol{\sqrt{b }}$

Exemple :

$4$ est la racine carrée de $16, \operatorname{car} 4^{2}=16$

On écrit 16= $\sqrt{256 } $

Et on lit $16$ égale racine carrée de $256$.

D’une manière générale, on écrira, par convention:

$a=\sqrt{A} \text { pour exprimer que } l^{\prime} \text { on } a: a^{2}=A$

Remarque :

$a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{a}^{2} \quad \text { Avec a est positif }$

Exemples :

$\sqrt{36}=\sqrt{6^{2}}=6$

$\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}=4$

II. Les opérations sur les racines carrées :

Propriété 1 :

Soit a et b deux nombres réels positif non nuls

$\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Attention :

$ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b} $

$ \sqrt{a-b} \neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemple :

$\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}= \sqrt{4} \times \sqrt{3}=\sqrt{2^{2}} \times \sqrt{3}=2 \sqrt{3} $

$ \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$

III. Eliminer la racine carrée au dénominateur :

On préfère parfois ne pas avoir des fractions contenant des radicaux au dénominateur.
Il existe quelques techniques permettant de l’éviter :

Propriété 2 :

Soit a un nombre réel positif non nul

Alors $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$

Exemple :

$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3}^{2}}=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$
  

Propriété 3 :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positif non nuls

Alors $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

Exemple :

$\frac{2}{1-\sqrt{5}}=\frac{2 \times(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5}) \times(1+\sqrt{5})}=\frac{2(1+\sqrt{5})}{1-\sqrt{5}^{2}}=\frac{2(1+\sqrt{5})}{-4}$

Remarque :

Le conjugue de nombre $(1+\sqrt{5})$ est le nombre $(1-\sqrt{5})$