Racine Carrée : Évaluations corrigés
Modèle $N°1$
Exercice 1 : $(2 pts)$
Factoriser les expressions suivantes en simplifiant si besoin les écritures :
$ x^{2}-13$
$ 24-9 x^{2}$
Exercice 2 : $(2 pts)$
Sachant que : $ A=5 \sqrt{2}+1$ et $ B=5 \sqrt{2}-1$
• Calculer la valeur exacte de $A + B$ et de $A × B$.
Exercice 3 : $(2 pts)$
Calculer les expressions suivantes :
$ C=(5 \sqrt{3})^{2}$
$ D=(2 \sqrt{4})^{2}$
Exercice 4 : $(6 pts)$
Ecrire les nombres suivants sous la forme $\mathbf{a} \sqrt{\mathbf{b}}$ avec $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ nombres entiers, $\mathbf{b}$ le plus petit possible :
$E=-3 \sqrt{32}+5 \sqrt{18}-4 \sqrt{2}$
$F=5 \sqrt{27}-2 \sqrt{48}-\sqrt{12}$
$G=2 \sqrt{360}-\sqrt{640}+3 \sqrt{1000}$
$ H=5 \sqrt{20}+3 \sqrt{45}-\sqrt{80}$
Exercice 5 : $(6 pts)$
Effectuer les calculs suivants (si le résultat n’est pas un nombre entier, on donnera le résultat sous la forme $\mathbf{a} \sqrt{\mathbf{b}}+\mathbf{c}$ où $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$ sont des entiers, $\mathbf{b}$ étant le plus petit possible):
$ L=(\sqrt{5}+1)^{2}$
$ M=(4-\sqrt{3})^{2} $
$ N=(\sqrt{7}+6)(\sqrt{7}-6) $
$O=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}$
$P=(\sqrt{8}-\sqrt{5})^{2}$
$N=(\sqrt{12}+\sqrt{3})(\sqrt{12}-\sqrt{3})$
Exercice 6 : $(2 pts)$
Rendre rationnel les dénominateurs suivants :
$P=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{11}}$
$Y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+4}$
$ x^{2}-13=x^{2}-(\sqrt{13})^{2}=(x+\sqrt{13})(x-\sqrt{13}) $
$ 24-9 x^{2}=(\sqrt{24})^{2}-(3 x)^{2}=(\sqrt{24}+3 x)(\sqrt{24}-3 x)$
$ A+B=(5 \sqrt{2}+1)+(5 \sqrt{2}-1)=5 \sqrt{2}+1+5 \sqrt{2}-1=10 \sqrt{2}$
$ A \times B=(5 \sqrt{2}+1) \times(5 \sqrt{2}-1)=(5 \sqrt{2})^{2}-1^{2}=5 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2}-1=5 \times 5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}-1=50-1=49$
$ C=(5 \sqrt{3})^{2}=5 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{3}=5 \times \sqrt{3} \times 5 \times \sqrt{3}=5 \times 5 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}=25 \times 3=75 $
$ D=(2 \sqrt{4})^{2}=(2 \times 2)^{2}=4^{2}=16$
$E=-3 \sqrt{32}+5 \sqrt{18}-4 \sqrt{2}=-3 \sqrt{16} \times \sqrt{2}+5 \sqrt{9} \times \sqrt{2}-4 \sqrt{2}=-3 \times 4 \times \sqrt{2}+5 \times 3 \times \sqrt{2}-4 \sqrt{2}=-12 \sqrt{2}+15 \sqrt{2}-4 \sqrt{2}=-\sqrt{2} $
$F=5 \sqrt{27}-2 \sqrt{48}-\sqrt{12}=5 \sqrt{9} \times \sqrt{3}-2 \sqrt{16} \times \sqrt{3}-\sqrt{4} \times \sqrt{3}=5 \times 3 \times \sqrt{3}-2 \times 4 \times \sqrt{3}-2 \times \sqrt{3} =15 \sqrt{3}-8 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}$
$G=2 \sqrt{360}-\sqrt{640}+3 \sqrt{1000}=2 \sqrt{36} \times \sqrt{10}-\sqrt{64} \times \sqrt{10}+3 \sqrt{100} \times \sqrt{10}=2 \times 6 \times \sqrt{10}-8 \times \sqrt{10}+3 \times 10 \times \sqrt{10}=12 \sqrt{10}-8 \sqrt{10}+30 \sqrt{10}=34 \sqrt{10} $
$H=5 \sqrt{20}+3 \sqrt{45}-\sqrt{80}=5 \sqrt{4} \times \sqrt{5}+3 \sqrt{9} \times \sqrt{5}-\sqrt{16} \times \sqrt{5}=5 \times 2 \times \sqrt{5}+3 \times 3 \times \sqrt{5}-4 \times \sqrt{5}=10 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}-4 \sqrt{5}=15 \sqrt{5}$
$ L=(\sqrt{5}+1)^{2}=(\sqrt{5})^{2}+2 \times \sqrt{5} \times 1+(1)^{2}=5+2 \sqrt{5}+1=2 \sqrt{5}+6$
$ M=(4-\sqrt{3})^{2}=(4)^{2}-2 \times 4 \times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=16-8 \sqrt{3}+3=-8 \sqrt{3}+19 $
$ N=(\sqrt{7}+6)(\sqrt{7}-6)=(\sqrt{7})^{2}-(6)^{2}=7-36=-29 $
$O=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}=2+2 \sqrt{10}+5=2 \sqrt{10}+7 $
$P=(\sqrt{8}-\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{8})^{2}-2 \times \sqrt{8} \times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}=8-2 \sqrt{40}+5=-2 \sqrt{40}+13$
$N=(\sqrt{12}+\sqrt{3})(\sqrt{12}-\sqrt{3})=(\sqrt{12})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=12-3=9$
$P=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{8} \times \sqrt{11}}{\sqrt{11} \times \sqrt{11}}=\frac{\sqrt{88}}{11} $
$Y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+4}=\frac{\sqrt{3} \times(\sqrt{5}-4)}{(\sqrt{5}+4) \times(\sqrt{5}-4)}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}-\sqrt{3} \times 4}{(\sqrt{5})^{2}-4^{2}}=\frac{\sqrt{15}-4 \sqrt{3}}{5-16}=\frac{\sqrt{15}-4 \sqrt{3}}{-11}=\frac{-\sqrt{15}+4 \sqrt{3}}{11}$
Racine Carrée : Évaluations corrigés