Somme et différence des nombres rationnels
I – Addition et soustraction de deux nombres rationnels:
1) Addition de deux nombres rationnels:
Règle: 1 (Même dénominateur)
Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, il suffit d’additionner les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Autrement dit :
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{b}~deux ~nombres ~rationnels, alors : \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$
Exemple:
Calculons A : $$A=\frac{2}{5}+\frac{-11}{5}$$
$$ A=\frac{2+(-11)}{5}$$
Donc : $$A=\frac{-9}{5}$$
Règle: 2( Dénominateurs différents)
Pour additionner deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur, puis on applique la règle précédente.
Autrement dit :
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{d}~deux ~nombres ~rationnels, alors : \frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{a \times d}{b \times d}+\frac{c \times b}{b \times d}$$
$$=\frac{a \times d+c \times b}{b \times d}$$
Exemple:
Calculons B: $$B=\frac{3}{5}+\frac{-4}{3}$$
$$ B=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}+\frac{-4 \times 5}{3 \times 5}$$
$$ B=\frac{9}{15}+\frac{-20}{15}$$
$$ B=\frac{9+(-20)}{15}$$
$$ B=\frac{-11}{15}$$
2) – Deux nombres rationnels opposés:
Définition: 1
$$Si~\frac{a}{b} un~ nombre~ rationnel ~alors : \frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0$$
$$ – Le ~nombre~ rationnel ~\frac{-a}{b}~est ~l’opposé ~du ~nombre~ rationnel ~\frac{a}{b}$$
$$- ~Le ~nombre ~rationnel ~\frac{a}{b}~ est ~l’opposé ~du ~nombre~ rationnel ~\frac{-a}{b}$$
$$ On ~dit ~que~ les ~deux~ nombres ~rationnels ~\frac{a}{b}~ et~ \frac{-a}{b} ~sont ~opposés.$$
Exemples :
$$ l’opposé~ du ~nombre : \frac{-5}{2}~ est~ \frac{5}{2}$$
$$~Donc, ~on~ a: \frac{-5}{2}+\frac{5}{2}=0$$
$$ l’opposé ~du ~nombre : ~\frac{22}{7}~ est ~\frac{-22}{7}$$
$$~Donc, ~on ~a: \frac{22}{7}+\frac{-22}{7}=0$$
3) Addition de trois nombres rationnels:
Regle: 3 (L’ordre des termes d’une somme)
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{d}~deux ~nombres ~rationnels$$
$$ alors : \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$$
Exemple:
$$\frac{-4}{3}+\frac{7}{5}=\frac{7}{5}+\frac{-4}{3}$$
Règle: 4 (Addition de trois nombres rationnels)
Pour additionner trois nombres rationnels, on commence par calculer deux nombres et on ajoute à leur somme le troisième nombre.
Autrement dit :
$$Si ~x, ~y ~et ~z ~trois ~nombres ~rationnels, ~alors :$$
$$ x+y+z =(x+y)+z $$
$$ =x+(y+z)$$
$$ =(x+z)+y $$
Exemple:
Calculons A : $$A=\frac{2}{3}+\frac{-1}{4}+\frac{1}{6}$$
$$A=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{2 \times 2}{3 \times 2}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{5}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{5 \times 4}{6 \times 4}+\frac{-1 \times 6}{4 \times 6}$$
$$A=\frac{20}{24}+\frac{-6}{24}$$
$$A=\frac{20+(-6)}{24}$$
Donc: $$A=\frac{14}{24}$$
$$A=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{2 \times 2}{3 \times 2}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{5}{6}+\frac{-1}{4}$$
$$A=\frac{5 \times 4}{6 \times 4}+\frac{-1 \times 6}{4 \times 6}$$
$$A=\frac{20}{24}+\frac{-6}{24}$$
$$A=\frac{20+(-6)}{24}$$
Donc: $$A=\frac{14}{24}$$
4) Soustraction de deux nombres rationnels:
Définition: 2
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{d}~deux ~nombres ~rationnels$$
$$ alors : \frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \frac{(–c)}{d}$$
Exemple:
$$\frac{-2}{9}-\frac{5}{6}=\frac{-2}{9}+\frac{(-5)}{6}$$
et on applique le règle de l’addition
• Soustraction de deux nombres rationnels :
Règle: 4 (Même dénominateur)
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{b}~deux ~nombres ~rationnels$$
$$ alors : \frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$
Exemple:
Calculons A: $$A=\frac{2}{3}-\frac{5}{3}$$
$$ A=\frac{2-5}{3}$$
Donc : $$A=\frac{-3}{3}=-1$$
Règle: 5 (Dénominateur différents)
$$Si~\frac{a}{b}~ et ~\frac{c}{d}~deux ~nombres ~rationnels$$
$$ alors : \frac{a}{b} – \frac{c}{d} =\frac{a \times d}{b \times d}–\frac{c \times b}{b \times d}$$
$$=\frac{a \times d–c \times b}{b \times d}$$
Exemple:
Calculons A : $$A=\frac{4}{5}-\frac{3}{2}$$
$$A=\frac{4 \times 2}{5 \times 2}-\frac{3 \times 5}{2 \times 5}$$
$$A=\frac{8}{10}-\frac{15}{10}$$
$$A=\frac{8-15}{10}$$
Donc : $$A=\frac{-7}{10}$$
Somme et différence des nombres rationnels