Théorème de Thalès – Évaluations corrigés

Exercice 1：(6pts)

a) Les droites (AD) et (BE) se coupent en C et (AB) // (CE). D’après le théorème de Thalès :

$$
\frac{C D}{C A}=\frac{C E}{C B}=\frac{D E}{A B} \text { soit : } \frac{6}{10}=\frac{C E}{15}=\frac{D E}{8}
$$

$$\frac{6}{10}=\frac{\mathrm{CE}}{15}  ~soit :  10 \times \mathrm{CE}=6 \times 15  ~~et~~ \mathrm{CE}=\frac{6 \times 15}{10}=9 \mathrm{~cm}$$

$$\frac{6}{10}=\frac{\mathrm{DE}}{8}~ soit : 10 \times \mathrm{DE}=6 \times 8~~ et ~~\mathrm{DE}=\frac{6 \times 8}{10}=4,8 \mathrm{~cm}$$

B) Les droites (AE) et (BD) se coupent en C et (AB) // (DE). D’après le théorème de Thalès :

$$
\frac{C D}{C B}=\frac{C E}{C A}=\frac{D E}{B A} \text { soit }: \frac{6}{9}=\frac{C E}{5}=\frac{D E}{8}
$$

$$\frac{6}{9}=\frac{\mathrm{CE}}{5}~ soit : 9 \times \mathrm{CE}=6 \times 5~~ et ~~\mathrm{CE}=\frac{6 \times 5}{9}=\frac{10}{3} \mathrm{~cm}$$

$$\frac{6}{9}=\frac{\mathrm{DE}}{8}~ soit : 9 \times \mathrm{DE}=6 \times 8~~ et ~~\mathrm{DE}=\frac{6 \times 8}{9}=\frac{16}{3} \mathrm{~cm}$$

Exercice 2：(3pts)

$$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}~~ et ~~\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{30}=\frac{2 \times \frac{6}{6}}{5 \times \frac{6}{6}}=\frac{2}{5}$$

Ainsi : $$\frac{A F}{A B}=\frac{A C}{A E} $$ et les points A, C, E et les points A, F, B sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EB) et (CF) sont parallèles.

Exercice 3：(3pts)

$$\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BE}}=\frac{10}{22}=\frac{5}{11}~~ et ~~\frac{\mathrm{BI}}{\mathrm{BD}}=\frac{2,5}{5,5}=\frac{2 \times 2,5}{2 \times 5,5}=\frac{5}{11}$$

Ainsi : $$\frac{B A}{B E}=\frac{B I}{B D}$$ et les points B, A, E et les points B, I, D

sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du th. de Thalès, (AI) et (DE) sont parallèles.

Exercice 4：(3pts)

$$\quad \mathrm{BD}=3, \mathrm{DE}=7~~ et ~~\mathrm{BC}=20 ; \mathbf{A D}=\mathbf{x}$$

Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et (BC) // (DE).

D’après le théorème de Thalès : $$\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{D E}{B C} ~~soit : \frac{x}{x+3}=\frac{A E}{A C}=\frac{7}{20}$$

$$
\begin{array}{ll}
\frac{x}{x+3}=\frac{7}{20} \text { soit }: & x \times 20=7 \times(x+3) \\
& 20 x=7 x+21 \\
& 13 x=21 \\
& x=\frac{21}{13}
\end{array}
$$

Exercice 5：(5pts)

$$\mathrm{DM}=8 \mathrm{~km}, \mathrm{DF}=6 \mathrm{~km}, \mathrm{MA}=2 \times \mathrm{DM}=16 \mathrm{~km}$$

1. Le triangle DFM est rectangle en D. Théorème de Pythagore :

$$
\mathrm{FM}^{2}=\mathrm{DF}^{2}+\mathrm{DM}^{2}=6^{2}+8^{2}=100 \text { donc } \mathrm{FM}=\sqrt{100}=10 \mathrm{~km}
$$

2. Les droites (FG) et (AM) se coupent en D et ( FM ) // (AG).

D’après le théorème de Thalès : $$\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{DG}}=\frac{\mathrm{MF}}{\mathrm{AG}} $$

$$soit : \frac{8}{24}=\frac{6}{\mathrm{DG}}=\frac{10}{\mathrm{AG}} $$

$$\mathrm{DM}= \mathrm{DF}+ \mathrm{MA}=\mathrm{DF}+ 2 \times \mathrm{DM}=3 \times \mathrm{DM}=3 \times \mathrm{8}=24 \mathrm{~km}$$

$$ \mathrm{DG}=\frac{24 \times 6}{8}=18 \mathrm{~km}$$

Donc

$$\mathrm{FG}= \mathrm{DG}- \mathrm{DF}=18 -6=12\mathrm{~km}$$

3. Calculer AG.

$$On~ a :\frac{8}{24}=\frac{6}{\mathrm{DG}}=\frac{10}{\mathrm{AG}} $$

$$ \mathrm{AG}=\frac{24 \times 10}{8}=30 \mathrm{~km}$$

4. Vérifier que la longueur de la régate est de 60 km.

$$\mathrm{DM}+ \mathrm{FM}+ \mathrm{FG}+ \mathrm{AG}=8+10+12+30 =60\mathrm{~km}$$