Travail et puissance d’une force – Cours

⚙️ TRAVAIL & PUISSANCE

d’une force – 1^er Bac Sciences

Travail d’une force

1‑1 Notion de travail d’une force constante

Force constante : Une force est constante si sa valeur, sa direction et son sens ne varient pas au cours du temps (exemple : le poids).

Définition du travail : Une force \( \vec{F} \) effectue un travail si son point d’application se déplace de A à B. On note \( W_{A\to B}(\vec{F}) \) en joules (J).

\( W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha) \)

1‑2 Travail d’une force constante – translation

Cas rectiligne : \( W = F \cdot AB \cdot \cos\alpha \)

Cas curviligne : On découpe la trajectoire en éléments infinitésimaux \( \vec{dl} \). Le travail élémentaire est \( \delta W = \vec{F}\cdot\vec{dl} \), et le travail total est la somme :

\( W_{A\to B} = \sum \vec{F}\cdot\vec{dl} = \vec{F} \cdot \sum \vec{dl} \)

1‑2‑3 Cas du poids d’un corps

Expression : \( W_{A\to B}(\vec{P}) = \vec{P}\cdot\vec{AB} = P(Z_A – Z_B) = mgh \)

avec \( h \) la différence de hauteur entre A et B.

Conclusion : Le travail du poids ne dépend pas de la trajectoire, seulement de la différence d’altitude.

Descente : \( W = +mgh \) (travail moteur)
Montée : \( W = -mgh \) (travail résistant)

1‑3 Nature du travail selon l’angle α

Moteur : \( 0 \le \alpha < 90° \) → \( W > 0 \)
Résistant : \( 90° < \alpha \le 180° \) → \( W < 0 \)
Nul : \( \alpha = 90° \) → \( W = 0 \)

Travail d’un ensemble de forces · Rotation

1‑4 Travail d’un ensemble de forces (translation)

Pour un solide en translation soumis à plusieurs forces constantes \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n \) dont les points d’application subissent le même déplacement \( \vec{AB} \) :

\( W_t = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \cdot \vec{AB} = \left( \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \right) \cdot \vec{AB} \)

Conclusion : Le travail total est égal au travail de la résultante des forces.

1‑5 Travail d’une force de moment constant appliquée à un solide en rotation autour d’un axe fixe

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, le travail élémentaire d’une force \( \vec{F} \) pour une rotation \( \delta\theta \) est :

\( \delta W = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \delta\theta \) avec \( M_{\Delta}(\vec{F}) = F \cdot d \) (moment par rapport à l’axe)

Pour une rotation d’angle \( \Delta\theta \) :

\( W = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \Delta\theta \)

1‑6 Travail d’un couple de moment constant

Un couple de deux forces de même intensité \( F \) et de distance \( d \) entre leurs lignes d’action a un moment \( M_C = \pm F \cdot d \).

Pour une rotation \( \Delta\theta \) : \( W = M_C \cdot \Delta\theta \)

Puissance d’une force

2‑1 Définition

La puissance est le travail effectué par unité de temps. Symbole \( P \), unité : le watt (W).

2‑2 Puissance moyenne

\( P_m = \dfrac{W}{\Delta t} \)

2‑3 Puissance instantanée (translation)

Pour une force constante appliquée à un solide en translation :

\( \mathcal{P} = \dfrac{\delta W}{\delta t} = \vec{F} \cdot \vec{v} \)

2‑4 Puissance instantanée (rotation)

Pour une force de moment constant appliquée à un solide en rotation :

\( \mathcal{P} = \dfrac{\delta W}{\delta t} = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \omega \) avec \( \omega = \dfrac{\delta\theta}{\delta t} \)

Pour un couple de moment constant : \( \mathcal{P} = M_C \cdot \omega \).

📌 Synthèse – Travail & Puissance

• Travail d’une force constante : \( W = \vec{F}\cdot\vec{AB} = F\cdot AB\cdot\cos\alpha \)
• Travail du poids : \( W = \pm mgh \) (indépendant du chemin)
• Travail d’un ensemble de forces : \( W_t = \sum \vec{F}_i \cdot \vec{AB} \)
• Travail en rotation : \( W = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \Delta\theta \) (couple : \( W = M_C\cdot\Delta\theta \))
• Puissance moyenne : \( P_m = W/\Delta t \) • Puissance instantanée : translation \( \mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} \) ; rotation \( \mathcal{P} = M\cdot\omega \)

Travail et puissance d’une force – Cours